精品解析：江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高二上学期11月期中大联考数学试题

2024-2025学年度秋学期期中联考试卷 高二数学 命题人：江春 复核人：沈宏 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由直线的方向向量可得其斜率，从而可得直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又，所以. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 3. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解. 【详解】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线方程为， 代入点，得， 解得， 则直线方程为，即， 综上所述直线方程为或， 故选：C. 4. 已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，建立方程，可得直线方程，利用平行直线的距离公式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得，经检验符合题意， 可得直线与直线，整理可得， 两直线之间的距离. 故选：B. 5. 设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【详解】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 6. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可知圆心和半径，可得，进而判断两圆的位置关系，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆，即， 可知其圆心为，半径； 圆，即， 可知其圆心为，半径； 因为，即， 所以两圆相交，公切线有2条. 故选：B. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 8. 在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据，求出点的坐标，再利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 设， 则， 因为， 所以，解得， 所以，则， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的横截距与纵截距之积为 B. 方程（R）能表示平行轴的直线 C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为 D. 点关于直线对称的点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由截距的定义即可判断A，当时，即可判断B，分直线斜率存在与不存在，再结合点到直线的距离公式即可判断C，由两点关于直线对称，代入计算，即可判断D 【详解】对于A，令可得，则直线的纵截距为， 令可得，则直线的横截距为， 所以直线的横截距与纵截距之积为，故A正确； 对于B，当时，方程为，表示平行轴的直线，故B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不满足到直线的距离相等； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则， 化简可得，由到直线的距离相等可得， ，解得或， 当时，直线方程为， 当时，直线方程为， 所以的方程为或，故C错误； 设点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，则对称的点坐标为，故D正确； 故选：ABD 10. 对于复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 一定是纯虚数 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据复数的运算结合模长公式分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项C：例如，则，，故C错误； 设，则， 对于选项B：因为， 所以，故B正确； 对于选项D：若，可得， 且，即，可得，即，故D正确； 故选：BD. 11. 已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过对称性确定曲线图形，再结合图形逐项判断即可. 【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 当，时，曲线 可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 其图象为： 对于A：坐标原点到的距离为，所以上的点的到点的距离的最大值为，正确； 对于B：由图象可知上的点的横坐标的取值范围是，故B错误； 对于C:第一象限围成的面积为， 故曲线围成的图形的面积为.C正确； 对于D: 连接第二象限和第四象限的圆心得到直线：，显然与垂直， 画出与两条直线， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 所以结合图象可知：若上有四个点到直线的距离等于，则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过圆上的点的的切线方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由过切点的半径与切线垂直得切线斜率，从而求得切线方程. 【详解】圆心为，切点为，则，所以切线斜率为， 得：切线方程为，化简得：. 故答案为： 13. 已知斜三棱柱的所有棱长均为，，，分别为，的中点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先以向量为基底向量，得：，然后两边平方，根据条件由向量的数量积的运算性质求解即可. 【详解】因为，分别为，的中点， 所以， 两边平方得： ， 因此可得：. 故答案为： 14. 已知两条互相垂直的直线，分别经过点，，公共点为，，则当取最小值时，______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件分析出动点在以线段为直径的圆上，进而求出当取得最小值时点的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由题可知，且点为垂足，故点在以线段为直径的圆上，此时该圆的圆心，半径，故圆的方程为. 此时易知，当点为直线与圆在第四象限的交点时取得最小值， 此时直线的方程为，将该直线与圆的方程联立， 解得，或（舍），故此时， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：动点问题求解的关键是分析出动点的轨迹，本题中是利用了定义法求出了动点的轨迹方程. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，， 为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：，且为棱的中点， ， 四边形为正方形， ， 又平面，平面， ， ，，平面， 平面， 平面， ， 又，，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为正方形， ， 以点为坐标原点，，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又为中点， ， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，即， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【小问1详解】 由，为实数，则为实数， 所以，即，， 所以. 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 又为实系数方程的根， 则， 所以，， 又，所以. 17. 已知圆，点. （1）过的直线截所得的弦长为，求的方程； （2）经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 【答案】（1）或者. （2） 【解析】 【分析】（1）由弦长得到圆心到直线的距离为1，即可求解； （2）求得圆，再结合四点在以为直径的圆上，即可求解. 【小问1详解】 易知知直线斜率存在，设的方程为：， 因为截圆所得的弦长为，所以到的距离为， 所以，解得或者， 所以的方程为或者. 【小问2详解】 因为圆经过点和，所以设，又圆与圆外切于点， 所以，，与点共线，则，得， 则圆半径为，圆方程为， 又，与圆相切，所以四点在以为直径的圆上， 圆的方程为，即， 直线为圆与圆的公共点所在的直线，则由， 两式相减得直线的方程为. 18. 如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点. （1）试确定的位置，使得平面； （2）求点到平面距离的最大值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）在中点处 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量的坐标运算，结合点到平面的距离公式，代入计算，即可得到结果； （3）由空间向量的坐标运算，结合二面角的夹角公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当在中点处时，面. 证明如下：在直棱柱中，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， ，令，得， 即. 设，则，又平面， 则令，解得， 故在中点处时，平面. 【小问2详解】 设，为平面的一个法向量. ，， ， 令得即. 到平面的距离为， 当时，到平面的距离的最大值为. 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 则平面与平面夹角的大小为. 19. 已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. （1）求的坐标； （2）过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 【答案】（1） （2）①的坐标为或者，； ②证明：因为为线段的中点，所以， 设直线方程为，， 联立方程组，得， ，且，，， 直线方程为，直线方程为，得， 则 ， 所以，又，所以与轴平行. 【解析】 【分析】（1）通过为以为斜边的等腰直角三角形，确定为的中点，即可求解； （2）①设，由，列出方程，结合在圆上即可求解；②设直线方程为，，，联立圆方程，结合韦达定理，通过 可求证 【小问1详解】 因为直线与圆相切，切点为，所以 由，所以为以为斜边的等腰直角三角形， 由第一象限的点在轴上的射影为，所以为的中点， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 ①设，，则， 即， 又， 解得，， 所以的坐标为或者 此时，取为线段的中点，则，由，且为 中点，则，所以. ②略 【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度秋学期期中联考试卷 高二数学 命题人：江春 复核人：沈宏 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为 （ ） A. B. C. D. 5. 设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的横截距与纵截距之积为 B. 方程（R）能表示平行轴的直线 C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为 D. 点关于直线对称的点为 10. 对于复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 一定是纯虚数 D. 若，，则 11. 已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过圆上的点的的切线方程为____________. 13. 已知斜三棱柱的所有棱长均为，，，分别为，的中点，则______. 14. 已知两条互相垂直的直线，分别经过点，，公共点为，，则当取最小值时，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，， 为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成的角的正弦值. 16. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 17. 已知圆，点. （1）过的直线截所得的弦长为，求的方程； （2）经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 18. 如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点. （1）试确定的位置，使得平面； （2）求点到平面距离的最大值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的大小. 19. 已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. （1）求的坐标； （2）过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $