北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷 高二数学 2024.11 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，且，那么（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 4. 设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 过和两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. 1 C. D. 6. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在平行六面体中，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数，则______. 12. 已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________. 13. 若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量______. 14. 已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________. 15. 如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论： ①存在，使得任意，都有； ②对于任意点，都不存在点，使得平面平面； ③的最小值为3； ④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为. 其中，所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的顶点坐标为. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求边上的高所在直线的方程. 17. 如图，在三棱柱中，底面，是的中点，且. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 设的内角对应的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分. 19. 已知函数，且的图象过点. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围； （3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小值及此时的值. 20. 如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 21. 给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质. （1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明） （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：. 延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷 高二数学 2024.11 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（不唯一，共线即可） 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①③④ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：连接，设，连接， 由为三棱柱，得. 又是的中点，所以是的中位线， . 平面平面， 平面； （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 若选①，；若选②：三角形不唯一；若选③，. 【19题答案】 【答案】（1）最小正周期；单调减区间为 （2） （3）当时， 【20题答案】 【答案】（1）证明：因为是正三角形，是的中点， 所以. 又因为平面平面， 平面， 所以面； （2） （3）存在，或 【21题答案】 【答案】（1）集合具有性质，集合B不具有性质 （2）不存在具有性质的集合，证明：当时，集合A中的元素个数为4.由题设. 假设集合A具有性质，则 ①当时，，矛盾. ②当时，，不具有性质，矛盾. ③当时，. 因为和至多一个在A中；和至多一个在A中；和至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4，矛盾. ④当时，，不具有性质，矛盾. ⑤当时，，矛盾. 综上，不存在具有性质的集合. （3）证明：记，则. 若，则，矛盾.若，则，矛盾. 故. 假设存在使得，不妨设，即. 当时，有或成立. 所以中分量为1的个数至多有. 当时，不妨设. 因为，所以的各分量有个1，不妨设. 由时，可知，中至多有1个1， 即的前个分量中，至多含有个1. 又，则的前个分量中，含有个1，矛盾. 所以.因为， 所以.所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $