浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省金华市义乌市稠州中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于体育的图形中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.画中AC边上的高，下列四个画法中正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若，则下列不等式中，不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 4.对假命题“若，则”举反例，正确的反例是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.适合下列条件的中，直角三角形的个数为(    ) ①：：：2：3 ②③a：b：：1：2 ④a：b：：12： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最低可打(    ) A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 8.如图，D，E分别是的边BC，AC上的点，若，，，，则(    ) A. B. C. D. 9.如图，的两条中线AM，BN相交于点O，已知的面积为4，的面积为2，则四边形MCNO的面积为(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10.如图，是等边三角形，D是线段BC上一点不与点B，C重合，连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是(    ) A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.根据数量关系列不等式：a与3的和是正数______. 12.如图，，，，则______. 13.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为3、7、19，则正方形B的面积为______. 14.如图，BO平分，E为射线BA上的一点，，，D为射线BC上一动点，则OD的最小值为______. 15.如图，在中，，D，E是的边BC，AC上的点，且，则的度数是______. 16.如图，在中，，，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上点P不与点A、C重合，满足当为等腰三角形时，OP的长度是______. 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 解不等式组： ； 18.本小题6分 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12cm和9cm两部分，求等腰三角形的底边长. 19.本小题6分 如图，点E、F在BC上，，，求证： 20.本小题8分 如图，在中，，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点 D、 若，求的度数； 若，的周长为16，求BC的长. 21.本小题8分 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”. 如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； 在中，，，若是“美丽三角形”，求BC的长. 22.本小题10分 “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元. 购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ 若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 在的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由. 23.本小题10分 如图1，是边长为4cm的等边三角形，边AB在直线MN上，点D是直线MN上一动点，当点D不与点A重合时，将绕点C逆时针旋转得到，连接 求证：是等边三角形； 当点D在直线MN上运动时，若，求BE的长； 如图2，当点D在射线MN上运动时，点F是CB的中点，问是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由. 24.本小题12分 如图1，在中，，，AE为BC边上的中线. 求AE的长； 动点P的速度为，运动时间为t秒. ①如图2，当点P从点B开始沿BC边向点C移动时，若是以BP为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的t的值； ②如图3，当点P从点C开始沿AC边向点A移动时，将沿直线PE对折，点C的对称点为，当与重叠部分为直角三角形时，请求出t的值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选： 根据轴对称图形定义求解． 本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合． 2.【答案】D  【解析】解：A、不是AC边上的高，故本选项不符合题意； B、不是AC边上的高，故本选项不符合题意； C、不是AC边上的高，故本选项不符合题意； D、是AC边上的高，故本选项符合题意； 故选： “从三角形的一个顶点，向对边引垂线，顶点与垂足所连线段，即为三角形的高”，据此进行判断即可． 本题主要考查了作图-基本作图，三角形的角平分线、中线和高，解答本题的关键要明确：从三角形的一个顶点，向对边引垂线，顶点与垂足所连线段，即为三角形的高． 3.【答案】D  【解析】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，当时，则，故本选项符合题意； 故选： 根据不等式的性质，逐项判断，即可求解． 本题主要考查了不等式的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：当，时，，，， 则， 若，则”是假命题， 故选： 根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可． 本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5.【答案】B  【解析】解：①中，：：：2：3， 设，则，， ， ，解得， ， 是直角三角形，故本小题正确； ②中，， 设，则，， ， ，解得， 是钝角三角形，故本小题错误； ③中，a：b：：1：2， 设，则，， ，即， 不是直角三角形，故本小题错误； ④中，a：b：：12：13， 设，则，， ，即， 是直角三角形，故本小题正确． 故选： 先根据三角形的内角和是对①②中的形状作出判断，再根据勾股定理的逆定理对③④中的形状进行判断即可． 本题考查的是三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用方程的思想把中的边角关系转化为求x的值，再根据直角三角形的性质进行判断． 6.【答案】D  【解析】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， 的一元一次不等式组有解， 解得：， 故选： 分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解． 本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：设该商品打x折销售， 依题意，得：， 解得： 故选： 设该商品打x折销售，根据利润=销售价格-进价结合利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：，， ， ， 又， ， 是的外角， ， 即 故选： 依题得，，即和都是等腰三角形，则结合、即可求得和的度数，根据三角形的外角等于不相邻两个内角的和可得，即可求解． 本题考查的知识点是三角形的外角、等腰三角形的性质，解题关键是掌握等边对等角． 9.【答案】B  【解析】解：和BN为的两条中线， 的面积为4，的面积为2， ， 点O为的重心， ， ， 故选： 利用点O为的重心得到，根据三角形面积公式计算即可． 本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了三角形的面积． 10.【答案】D  【解析】解：， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ≌， ，， 周长， 点D在BC边上从B至C的运动过程中， 的长先变小后变大， 周长先变小后变大， 故选： 由“ASA”可证≌，由全等三角形的性质可得，，可得周长，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明≌是本题关键． 11.【答案】  【解析】根据题意，得， 故答案为： 由正数的定义列出不等式即可得出答案． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握正数大于零是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：如图，过点P作直线， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 过点P作直线，可得，从而得到，，进而得到，即可求解． 本题主要考查了平行线的判定和性质，解答本题的关键是作出a，b的平行线． 13.【答案】9  【解析】解：由勾股定理知，正方形A、B的边长的平方的和等于阴影部分正方形的面积，正方形D、C的边长的平方的差等于阴影部分正方形的面积， ，即， 解得，， 故答案为： 由勾股定理知，正方形A、B的边长的平方的和等于阴影部分正方形的面积，正方形D、C的边长的平方的差等于阴影部分正方形的面积，则，即，计算求解即可． 本题考查了勾股定理与面积的应用．明确各正方形的面积的关系是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据垂线段最短可知：当于D时，OD最小， 又平分，， ， ， ，， 过O作于H， ， 平分，，， ， 故OD的最小值为， 故答案为： 先确定当于D时，OD最小，过O作于H，再求解，再结合角平分线的性质可得答案． 本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：设， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即 故答案为： 设，根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，即可求解． 本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 16.【答案】1或  【解析】解：分为3种情况： ①当时， ，，A、C关于直线OB对称， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：； 当为等腰三角形时，或 分为三种情况：①，证明≌，，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解决本题的关键是得到≌ 17.【答案】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； ， 解①得，， 解②得， 这个不等式组的解集是  【解析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 本题考查解一元一次不等式及不等式组．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解不等式组的关键． 18.【答案】解：如图：为等腰三角形，，BD为AC边上的中线， 设， ，BD为AC边上的中线， ，， ①当，时， ，解得：， ，解得：， 此时， ， 能构成三角形．此时底边为5cm， ②当，时， ， 解得：， ， 解得：， 此时， ， 能构成三角形． 综上：等腰三角形的底边长5cm或  【解析】画出图形，分两种情况进行讨论求出底边长度，再根据三角形三边之间的关系去验证能否构成三角形即可． 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线以及三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形中线的定义以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 19.【答案】证明：在与中， ， ≌， ， ，   【解析】只要证明≌，推出，再根据线段的和差定义即可证明． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 20.【答案】解：，， ， 又垂直平分AB， ， ， ； 垂直平分AB， ，， ， 又，周长为16，   【解析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可； 根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可． 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 21.【答案】证明：过点A作于D， ，， ， 由勾股定理得，， ，即是“美丽三角形”； 解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2， ， 当BC边上的中线AE等于BC时， ，即， 解得 综上所述，BC的长是6或  【解析】过点A作于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“美丽三角形”的定义证明； 分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 22.【答案】解：设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元． 根据题意，得， 解得，； 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； 设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得：， 解得：， 的最大值为120； 答：最多可购进乙型头盔120个； 能，理由如下： 根据题意，得：； 解得：； ； 为整数， 可取118，119或120，对应的的值分别为82，81或80； 因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个； ②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个； ③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．  【解析】根据题意列二元一次方程组并求解即可； 设乙型头盔m个，根据所需费用=数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔m的最大值； 根据利润=单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔m的取值范围，结合中答案确定m的取值范围，即可得出可选方案． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 23.【答案】证明：将绕点C按逆时针方向旋转得到， ，， 是等边三角形； 解：过点C作于点H， 为等边三角形，且边长为4cm， ，， ， ， 在中，， ①当点D位于点A左侧时，如下图， ， 在中，， ， 由可知，，， ， ，即， 在和中， ， ≌， ； ②当点D位于点A右侧时，如下图， ，， ， ， ≌， 综上所述，BE的长为5cm或9cm； 解：如下图，在MN上取点，使得， 点F是CB的中点， ， 由可知，≌， ， ， ， 即点E的运动轨迹在的平分线上， 又，， ≌， ， ， 当点C、E、三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时，在中，，， ， 有最小值，最小值为  【解析】根据旋转的性质可得，，结合“有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形”，即可证明是等边三角形； 过点C作于点H，根据等边三角形的性质以及勾股定理，求得，分两种情况讨论：当点D位于点A左侧时和当点D位于点A右侧时，在中，利用勾股定理解得，即可获得答案； 在MN上取点，使得，首先证明点E的运动轨迹在的平分线上，再证明≌，易得，可知当点C、E、三点共线时，取最小值，即取最小值，此时在中，求得的值，即可获得答案． 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 24.【答案】解：，，AE为BC边上的中线， ， ， ①当时，如图： 此时； 当时，如图： 根据题意，得，则， ， ， ， 解得， 综上所述，t的值为5或 ②当于T时，与重叠部分为直角三角形PET，如图： 根据题意，得，， ，， ， ， ，， ，， 在中， ， ， 解得， 此时； 当落在AC上时，与重叠部分为直角三角形，如图： 根据题意，得，， ，， ， ， ， ， 解得， 此时； 当于K时，与重叠部分为直角三角形PEK，如图： 根据题意，得，，，， ，， ， ， ， ， ， 解得， 此时； 综上所述，当，与重叠部分为直角三角形时，t的值为1或或  【解析】根据等腰三角形的三线合一性质，得到直角三角形，后依据勾股定理计算即可； ①根据等腰三角形的定义，结合已知，分和两种情形求解即可； ②利用分类思想，画图求解即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定，分类思想，平行线的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$