上海市桃浦中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市桃浦中学2024学年第一学期高二年级 数学学科期中试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分. 1. 用数学符号语言表示“点A在直线外，直线在平面上”____________ 2. 若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是______. 3. “直线与平面无公共点”是“直线不在平面内”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 4. 如果OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=，则∠A1O1B1=_______________ 5. 如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是______； 6. 由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________. 7. 在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是________. 8. 已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________. 9. 如图，正三角形ABC的边长为2，P是三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，且，则P到BC的距离为___________. 10. 三角形ABC的一条边AB在平面内，，，，若AC与平面所成角为，则直线BC与平面所成角的大小为______． 11. 如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是____________． 12. 在平面几何里，有勾股定理“设的两边互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图的几何体中，若两两互相垂直，则有______________________________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分. 13. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 四边形一定是平面图形 B. 空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C. 一个平面的面积可以为10 D. 相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 14. 已知是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 已知三边的长分别为3、4、5，平面ABC外一点到三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于（ ） A. 1 B. C. D. 4 16. 如图，为正方体， ① ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条. 其中正确结论的个数是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 18. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小. 19. 如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积； （2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）. 20. 如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上． （1）求圆柱的表面积； （2）求证：； （3）若是的中点，求的最小值． 21. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) （1）求证：为正四面体； （2）若，求二面角的大小； （3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由. 上海市桃浦中学2024学年第一学期高二年级 数学学科期中试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】相交或异面 【3题答案】 【答案】充分不必要 【4题答案】 【答案】或 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】4 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】21 【9题答案】 【答案】2 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】0<x≤1 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分. 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题满分78分） 【17题答案】 【答案】17. 证明如下： ∵在直三棱柱中，底面， ∴， ∵，， ∴平面. 18. 证明如下： 取的中点， ∵为的中点， ∴，且， ∵为的中点，，且， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）（或）. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）55mm. 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：是底面圆的直径，所以, 是圆柱的母线,所以平面, 平面,所以, 且,所以平面, 平面, 所以. （3） 【21题答案】 【答案】（1） 由棱台与棱锥的棱长和相等， ∴， 故. 又∵截面底面ABC，则棱锥为正三棱锥，即，， ∴，即， 从而，则， 故为正四面体. （2）； （3） 存在满足条件的直四棱柱. 棱台的棱长和为定值6，体积为V. 设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为. 设的中心为，连接，则平面，即为三棱锥的高， ， ∴正四面体的体积是， 则，即， 从而， 故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $