精品解析：上海市南汇实验学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期 期中质量（阶段）检测 八年级数学学科试卷 （完卷时间：90分钟，满分：100分） —、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，逐一进行判断即可． 【详解】A. 含有两个未知数，故A不是一元二次方程； B. 只含一个未知数，且未知数最高次数为2次，故B是一元二次方程； C. 若a≠0则是一元二次方程；若a=0则不是一元二次方程，故C不一定是一元二次方程； D. 方程整理后是 ，方程中不含有二次项，故D不是一元二次方程； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟悉一元二次方程的定义是解决本题的关键． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的要求：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式，②被开方数的因数是整数，字母因式是整式，逐一进行判断即可． 【详解】A. 17不含能开得尽方的因数，故A是最简二次根式； B. 根号内含有分母，不是整式，故B不是最简二次根式； C. 16能开得尽方，故C不是最简二次根式； D. 24含有能开得尽方的因数4，故D不是最简二次根式． 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的判断，是二次根式化简的基础要求，且易错，属于常考题型． 3. 的一个有理化因式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理化因式的定义即可解答；掌握两个根式相乘的积为有理数成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 的一个有理化因式是． 故选A． 4. 若点在正比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出．牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点在正比例函数的图象上，， ∴． 故选：D． 5. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 6. 下列说法中正确的有（ ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【详解】解：①当时，是正比例函数，原说法错误； ②如果是正比例函数，那么，原说法错误； ③如果与成正比例，那么不是的正比例函数，原说法错误； ④如果，那么与成正比例，说法正确． ∴正确的只有1个， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 已知，那么_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，根据分母有理化，按照定义代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∵． 故答案为：． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】使代数式有意义的条件是：分母不能为0，二次根式中的被开方数不能为负数． 【详解】解：根据题意得：x-1>0， 解得：x＞1． 故答案为：x＞1． 【点睛】此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 9. 方程3x2=4x的根是_____． 【答案】0， 【解析】 【详解】试题解析： 故答案为 点睛：一元二次方程的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 本题用的是因式分解法. 10. 的倒数_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出的倒数，然后分母有理化即可. 【详解】的倒数为= 所以答案为 【点睛】本题主要考查了二次根式中的分母有理化，熟练掌握分母有理化的步骤和方法是关键. 11. 不等式的解集是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可得． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 12. 如果点A（﹣1，3）、B（5，n）在同一个正比例函数的图像上，那么n＝___． 【答案】 【解析】 【分析】设过的正比例函数为： 求解的值及函数解析式，再把代入函数解析式即可. 【详解】解：设过的正比例函数为： 解得： 所以正比例函数为： 当时， 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，正比例函数的性质，熟练的利用待定系数法列方程是解本题的关键. 13. 在实数范围内因式分解________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 方程有两个实数根，则的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，根据一元二次方程根的判别式及定义可得且，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 15. 若，求的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，把原方程变形，求得x，即可得出的数值． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， ， ∴，， 解得，， ∵是非负数， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 16. 2021年4月，我校初二某班月用电量为32度，到202l年6月，月用电量为90度，设每月的用电平均增长率为，则根据题意可列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用增长率公式表示出2个月后的用电量，即可得到对应方程． 【详解】解：因为4月到6月，共增长了2次， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是牢记增长率公式，即，其中 a是原来的量，x是平均增长率，n是增长次数． 17. 若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【解析】 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 18. 已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．先求出点P的坐标，再求出点Q的坐标，进而求出直线解析式，设，然后根据的面积为12列方程求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴． ∵点P关于x轴对称点为Q， ∴． 设解析式为， 把代入得，， ∴， ∴． 设， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴点M的坐标是或 故答案为：或． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，二次根式的加减运算．先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则，进行运算即可求解． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用零指数幂、二次根式的乘法运算、利用平方差公式进行分母有理化计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了零指数幂、二次根式的乘法运算、平方差公式进行分母有理化，解题的关键是掌握相关的运算法则． 21. 用配方法解方程： 【答案】＝1+，＝1﹣ 【解析】 【分析】根据配方法的步骤解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同时除以3，得， 配方，得， 则， 所以，x﹣1＝±， 所以，＝1+，＝1﹣． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 22. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的化简，先化简，再把化简后的代入到代数式计算即可求解，掌握二次根式、分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴原式 ， ， ， ． 四、解答题（本大题共3题，第23题6分，第24题10分，第25题6分） 23. 第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长30米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏板50米．请问：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 【答案】工作人员围成的这个长方形的宽为16米，长为20米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设工作人员围成的这个长方形的宽为米，则长为米，根据面积列方程求解即可． 【详解】解：设工作人员围成的这个长方形的宽为米，则长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 答：工作人员围成的这个长方形的宽为16米，长为20米． 24. 已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）正比例函数的解析式是 （2）P点坐标为或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【小问1详解】 解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； 【小问2详解】 解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． 【小问3详解】 解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 25. 阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， （1）已知方程的两根分别为，，求的值； （2）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用根和系数的关系求出、的值，再利用完全平方公式和积的乘方的逆运算对代数式进行变形，最后把所得的值代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系和相反数的定义求出的值，再代入方程进行检验即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：设方程的两根分别为，， ∵方程的两个实数根互为相反数， ∴， ∴， 当时，方程为，方程无解，故不合，舍去； 当时，方程为，方程有解，符合题意； ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，相反数的定义，完全平方公式的变形运算，代数式求值，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期 期中质量（阶段）检测 八年级数学学科试卷 （完卷时间：90分钟，满分：100分） —、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 的一个有理化因式是（ ）． A. B. C. D. 4. 若点在正比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的有（ ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 已知，那么_________________． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 9. 方程3x2=4x的根是_____． 10. 的倒数_________. 11. 不等式的解集是 ___________． 12. 如果点A（﹣1，3）、B（5，n）在同一个正比例函数的图像上，那么n＝___． 13. 在实数范围内因式分解________． 14. 方程有两个实数根，则的取值范围______． 15. 若，求的值为___________． 16. 2021年4月，我校初二某班月用电量为32度，到202l年6月，月用电量为90度，设每月的用电平均增长率为，则根据题意可列出方程______． 17. 若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 18. 已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是_______． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 用配方法解方程： 22. 已知，求的值． 四、解答题（本大题共3题，第23题6分，第24题10分，第25题6分） 23. 第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长30米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏板50米．请问：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 24. 已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 25. 阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， （1）已知方程的两根分别为，，求的值； （2）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $