精品解析：江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高一上学期11月期中大联考数学试题

2024-2025学年度秋学期期中联考试卷 高一数学 命题人：王慧 复核人：王登智 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题：，则否定为（ ） A. B. C. D. 3. “”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 若、、，，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（  ） A. B. C. D. 7. 一元二次不等式则对一切实数 都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（    ） A. 集合的真子集有7个; B. 设，是两个集合，则; C. 若集合，则的元素个数为4; D. 已知 ，则的取值范围为. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值4 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数表示同一个函数； B. 函数的值域是； C. 已知，则函数解析式为（）； D. 函数，若不等式对恒成立，则范围． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为________ 13. 指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为______. 14. 若关于不等式的解集为且非空，则的值为____________. 15. 已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则_____，若存在实数，满足，则的取值范围是_______________． 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （1）求值： （2）已知正实数满足，求的值. 17. 在①，②“”是“”的充分不必要条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 18. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并证明的单调性； 19. （1）已知，且，求的取值范围. （2）解关于的不等式. 20. 某地区上年度电价为元/（kW·h），年用电量为kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （1）写出本年度电价下调后电力部门收益为关于实际电价为的函数解析式； （2）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? （3）当时，求收益最小值. 21. 设函数的定义域分别为，且为的子集．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数． （1）若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式； （2）设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数． ①证明：当时，． ②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度秋学期期中联考试卷 高一数学 命题人：王慧 复核人：王登智 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】由并集运算法则可得，再由区间表示可得结果. 【详解】集合，则， 再由集合的区间表示可得. 故选：B 2. 设命题：，则否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题根据题意直接写出命题的否定即可. 【详解】解：因为命题：， 所以的否定：， 故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题. 3. “”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，解出不等式，然后将充分不必要条件转化为真子集关系，即可得到结果. 【详解】解不等式可得，解得或， 所以不等式的解集为或， 因此不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围是解集的真子集， 即是或的真子集. 故选：B 4. 若、、，，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 6. 函数的部分图象大致为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 7. 一元二次不等式则对一切实数 都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质及二次不等式的解法列式可得. 【详解】由一元二次不等式对一切实数x都成立， 则，解得. 满足一元二次不等式对一切实数x都成立的k的取值范围是. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可； 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得， 即，为偶函数， 由得，即是以4为周期的偶函数， 所以， 由,令可得， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（    ） A. 集合的真子集有7个; B. 设，是两个集合，则; C. 若集合，则的元素个数为4; D. 已知 ，则的取值范围为. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合中元素的个数判断集合真子集的个数，可判断A的真假；根据集合的运算结果，可判断两集合的包含关系，判断B的真假；可列出集合中的元素，判断C的真假；根据不等式的性质确定的取值范围，判断D的真假. 【详解】对A：因为集合有3个元素，所以其真子集的个数为：，故A正确； 对B：因为，所以，故B错误； 对C：由题意：，有4个元素，故C正确； 对D：因为，，两式相加得：，即，故D错误. 故选：AC 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由基本不等式和乘“1”法逐项分析即可； 【详解】对于A，，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ABD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数表示同一个函数； B. 函数的值域是； C. 已知，则函数的解析式为（）； D. 函数，若不等式对恒成立，则范围为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两函数的定义域不同可得A错误；由二次函数的单调性可得B正确；由换元法设可得C正确；由换元法结合指数幂的运算可得D正确； 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，， 图象关于对称，在上单调递减，在上单调递增， 所以，故B正确 对于C，设，则， 则，即（），故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 又， 令，所以， 当且仅当时取等号， 所以范围为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为________ 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，由幂函数的图象经过点，知，由此能求出这个幂函数的解析式． 【详解】设幂函数， ∵幂函数的图象经过点， ∴，∴， ∴这个幂函数的解析式为． 故答案为． 【点睛】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 13. 指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数的图象可知，结合二次函数性质分析求解即可. 【详解】由指数函数图象可知， 所以二次函数图象顶点的横坐标. 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集为且非空，则的值为____________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】由题意可得，且方程的实数解为，再利用韦达定理求出即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为且非空， 所以，且方程的实数解为， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或. 15. 已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则_____，若存在实数，满足，则的取值范围是_______________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论. 【详解】当时，令，解得或； 令，解得； 故可作出的图象，如图： 由图可知，当时，，当时，， 所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图： 当时，直线与的图象有4个交点； 若存在实数，满足， 如图： 可知当时，存在实数，满足， 令，解得， 则可得； 因为 关于对称，；同理关于对称，； 所以， 又因为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：1；. 【点睛】关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （1）求值： （2）已知正实数满足，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则直接计算可得结果； （2）利用平方关系可求得，再由立方差公式计算即可得出结果. 【详解】（1）原式； （2）因为是正实数，由可得， 所以， 则，所以， 可得 所以. 17. 在①，②“”是“”的充分不必要条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）解不等式可得，代入可得，可得出结果； （2）根据选择的条件得出集合间之间的关系，对集合是否为空集进行分类讨论，得出对应的不等关系，解不等式可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得, 可得 当时，， 所以 【小问2详解】 若选①， 由可得， 由已知可得当时，，解得; 当时，有，解得； 所以 若选②“”是“”的充分不必要条件， 由已知可得是的真子集， 当时，，解得; 当时，有，解得； 所以， 若选③， 由已知可得当①时，，解得; 当时，需满足，即； 由或，解或； 所以可得或 即. 18. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并证明的单调性； 【答案】（1） （2）为增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性及已知条件代入即可求出未知参量，从而得出. （2）先下结论，再根据单调性的定义法判断的单调性. 【小问1详解】 由题函数是定义在上的奇函数，所以，解得， 又由，得，解得， 所以， 则定义域为，且， 所以. 【小问2详解】 在区间上为增函数.证明如下： 设，则， 由，得，即，，， 所以，即，所以函数在上单调递增. 19. （1）已知，且，求的取值范围. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式，换元结合一元二次不等式解法求解；（2）进行分类讨论解二次不等式即可. 【详解】（1）因为，且， 所以,令， 则，所以,因为，所以，所以. （2）由题意得， 得， 当，即时，由，得， 当，即时，无解， 当，即时，由，得， 综上，当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为; 当时，该不等式解集为. 20. 某地区上年度电价为元/（kW·h），年用电量为kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （1）写出本年度电价下调后电力部门收益为关于实际电价为的函数解析式； （2）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? （3）当时，求收益的最小值. 【答案】（1）， （2）0.6元/（kW.h） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出下调电价后新增用电量，从而得到电力部门的收益的表达式，由此得解； （2）当时，代入表达式中列出不等式，解之即可得解； （3）当时，代入收益中，利用基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，下调电价后新增用电量为， 故电力部门的收益，. 【小问2详解】 当时，， 由题意知且， 化简得，解得或， 又，， 所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 【小问3详解】 当时，， 令，，， ， ， 当且仅当时取等号， 故收益的最小值. 21. 设函数的定义域分别为，且为的子集．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数． （1）若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式； （2）设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数． ①证明：当时，． ②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及“延伸函数”的定义求得的解析式； （2）①通过差比较法证得不等式成立； ②根据函数的单调性以及不等式的性质证得不等式成立. 【小问1详解】 依题可知， 当时．则， ， 为奇函数，， . 【小问2详解】 ①证明：当时， ， . ②当时且单调递增， 在上单调递增， ， 即，即， 同理可得， 将上述两个不等式相加可得． 原不等式成立. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$