北京市第五十七中学2024～2025学年九年级上学期期中数学试卷

初三数学期中答案2024.10 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A B C C D 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.k>1; 10 (-1,-2),(2t+3,y1) 11.2 12. 338=200(1+X)² 13.-1,3 14.2019 15.或 16.甲乙丁 三、解答题 17.(1) -1,-2; (2)X= 18. 解：（1）补全的图形如右图所示； （2），直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线． 19. 解：（1）c=-2，对称轴为直线. （2）由对称性可知，-2,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根. （3） 由题意知，二次函数的图象经过点（-1，-1），（0，-2），（1，-2）. ∴ 解得 ∴ 二次函数的解析式为………………………6分 20解：（1）∵二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0）， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2． （2）由图象可知，不等式kx+b＞x2+px+q的解集为0＜x＜2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝3，求AF的长． 【分析】由题意得AC＝AD＝3，可推出∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意得：△ABC≌△AED， ∴AC＝AD＝3， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED， ∴∠BAF＝30°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°， ∴CF＝AF， ∵AF2＝CF2+AC2＝， ∴AF2＝， ∴AF＝AC＝2． 【点评】本题考查旋转的性质及勾股定理的应用．注意计算的准确性． 22.【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4， ∵Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0，得x1＝a﹣1，x2＝a+1， ∵方程的两个根均为负数， ∴ 解得a＜﹣1． ∴a的取值范围为a＜﹣1． 23 证明:连接OE,如图. ∵AB是☉O的直径, ∴∠AEB=90°, 即∠AEO+∠OEB=90° ∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠BAE. ∵∠BEF=∠CAE,∴∠BEF=∠BAE. ∵OA=OE,∴∠BAE=∠AEO, ∴∠BEF=∠AEO, ∴∠BEF+∠OEB=90°, 即∠OEF=90°,∴OE⊥EF. 又∵OE是☉O的半径, ∴EF是☉O的切线. 24.【解答】解：连接OD，交BE于点F，如图， ∵CD与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CD， ∴∠ODC＝90°， ∵BE∥CD， ∴∠OFB＝90°， ∴OD⊥BE， ∴＝， ∴∠EAD＝∠DAB， ∵∠EAD＝22.5°， ∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°； ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∵∠EAB＝45°， ∴∠ABE＝∠EAB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵BE＝4， ∴AB＝BE＝4， ∴⊙O的半径为2． 25 【答案】（1） （2） （3）； 1 26.（1）x=1; (2)1/2<m<3/2 27. 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接，先证明，得出，取的中点M，连接，证明，从而得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形 ； 【小问2详解】 ． 理由：如图，取的中点，连接，， 是等腰直角三角形，， 是的中点， ， 同理，在中，， ， ，， ， ， ， ； ∵， 为的中位线， ，， ， 在中，， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 28. 答案（1）P2、P3 （2）①（0，3） ②（2，1）（2，3） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$2024 五十七中初三(上)数学期中 数 学 2024.11 学校_______姓名__________准考证号 注 意 事 项 1.本试卷共 7 页，共两部分，28 道题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。 2.在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4.在答题纸上，选择题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。 第一部分 选择题 一、选择题(共 16分，每题 2分) 第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.二次函数 y  ( 1x  ) 2 2 的最小值是 A．1 B． 1 C． 2 D． 2 2．如图， AB是⊙O 的直径，CD 是弦，若 32CDB  °，则 CBA 的度数为 A．68° B．58° C．64° D．32° 3．抛物线 y＝ 2 2 3ax ax a  的对称轴是 A． 直线 x a B．直线 2x a C．直线 D．直线 4．如图， AB 是⊙O的直径，点C ， D 是圆上两点，且 126AOC  ，则 CDB 等于 A． 27 B．37 C．54 D．64 5． 将抛物线 2 12 -y x 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 A． 22 - +11y x（ ） B． 22 + -31y x（ ） C． 22 - -31y x（ ） D． 22 + +11y x（ ） 6 如上图， A， B，C 是⊙O 上的三个点，如果∠ AOB  140 °， 那么∠ ACB 的度数为 A．55 B．70 C．110 D．140 1x 1x 第 2 题 第 4 题 第 6 题 7．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物 线的一部分，篮球飞行的竖直高度 y (单位：m )与水平距离 x (单位：m )近似满足函数关系 2y ax bx c   ( 0a  )．下表记录了该同学将篮球投出后的 x与 y 的三组数据，根据上述函 数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为 x (单位：m) 0 2 4 y (单位：m) 2.25 3.45 3.05 A．1.5m B．2m C． 2.5m D．3m 8．抛物线 2y ax bx c   经过点（1，0），且对称轴 为直线 1x   ，其部分图象如图所示．对于此抛物 线有如下四个结论：①abc＜0； ②2 0a b  ； ③9a-3b+c=0；④若 ，则 1x m  时的函 数值小于 1x n  时的函数值．其中正确结论的序 号是 （A）①③ （B）②④ （C）②③ （D）③④ 第二部分 非选择题 二、填空题(共 16分，每题 2分) 9. 关于 x 的一元二次方程 2 2 0x x k   没有实数根，则 k 的取值范围是_________． 10. 在平面直角坐标系中，点  1,2P 关于原点对称 点的坐标是___________; 抛物线上，点 A(-3,𝑦1)关于对称轴 x=t的对称点的坐标为（_______________________） 11. 直径为 10 分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽 AB 为 8 分米，则积水的最大深度CD为______分米． 0m n  的 11 题图 15 题图 12. 某学习平台三月份新注册用户为 200 万，五月份新注册用户为 338 万，设四、五两个 月新注册用户每月平均增长率为 x ，则可列出的方程是_________________． 13. 已知二次函数 2 2 4y ax ax a    的图象与 x 轴的一个交点坐标是  3,0 ，则关于 x 的一元二次方程 2 2 4 0ax ax a    的两个实数根是__________________ 14. 若 a 是关于 x 的方程 23 1 0x x   的一个根，则 22021 6 2a a  的值是__________． 15. 函数 2 3 ( 0) ( 0) x x x y x x       的图象如上图所示，若直线y x t  与该图象只有一个交 点，则 t 的取值范围为__________________________． 16. 如图，抛物线 y=-x2+2.将该抛物线在 x 轴和 x 轴上方的部分记作 G1，将 x 轴下方的部分 沿 x 轴翻折后记作 G2，G1和 G2 构成的图形记作 G3.关于图形 G3，给出甲、乙、丙、丁四位 同学的结论： 甲： 图形 G3关于 y 轴成轴对称； 乙： 图形 G3有最小值，且最小值为 0； 丙： 当 x>0 时，图形 G3的函数值都是随着 x 的增大而减小的； 丁： 当-2≤x≤2 时，图形 G3 恰好经过 5 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 以上四位同学的结论中，所有正确结论的是 ． 三、解答题(共 68分，第 17-20题，每题 5分，第 21题 6分，第 22-23题，每题 5分，第 24-26题，每题 6分，第 27-28题，每题 7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 解方程： （1） 2 3 2 0x x   （2） 22 2 1 0x x   ． 18．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图 1，⊙O 及⊙O 上一点P． 求作：直线 PQ，使得 PQ与⊙O 相切． 作法：如图 2， ①连接 PO 并延长交⊙O 于点 A； ②在⊙O 上任取一点B（点 P， A除外），以点B为圆心， BP 长为半径作⊙ B，与射线 PO 的另一个交点为C ； ③连接CB 并延长交⊙B于点Q ； ④作直线 PQ． 所以直线 PQ就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图的过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵CQ是⊙B的直径， ∴ CPQ  °（ ）（填推理的依据）. ∴OP PQ . 又∵OP是⊙O 的半径， ∴ PQ是⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）. 19． 二次函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如 下表： x … -2 -1 0 1 2 … y=ax2+bx+c … t m -2 -2 n … 根据以上列表，回答下列问题： （1）直接写出 c 的值和该二次函数图象的对称轴； （2）写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=t 的根； 图 1 图 2 O P O A B P （3）若 m=-1，求此二次函数的解析式． 20．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝x2+px+q 的图象经过点 A（0，﹣2），B（2，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象也经过点 A，B，结合图象，直接写出不等式 kx+b ＞x2+px+q 的解集． 21．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 30°得到△ AED，AE 交 BC 于点 F．若 AD＝3，求 AF 的长． 22．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2ax+a2﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根均为负数，求 a 的取值范围． 23 已知△ABC 内接于☉O,AB 是☉O 的直径,∠CAB 的平分线交☉O 于点 E,连接 EB,作 ∠BEF=∠CAE,交 AB 的延长线于点 F.求证:EF 是☉O 的切线. 24．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于 D，过点 B 作 BE ∥CD 交⊙O 于点 E，连接 AD，AE，∠EAD＝22.5°．若 BE＝4，求⊙O 的半径． 25. 为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上 P 的含量（单 位：mg/kg ）与浸泡时长（单位： h ）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品 分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中 P 的含量，所得数据如下： P 含量 衣物 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 （1） 设浸泡时长为 x，甲，乙类衣物中 P 的含量分别为 1y ， 2y ，在平面角坐标系 xOy 中，描出表中各组数值所对应的．点  1,x y ，  2,x y ，并画出函数 1y ， 2y 的图 象； （2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为5h 时，甲、乙两类衣 物中 P 的含量的差约为______ mg/kg （精确到0.1）； （3）根据衣物中 P 的含量（单位：mg/kg ）将衣物分为 A 级（含量 20 ）、B 级（20  含量 75 ）和 C 类（75 含量 300 ）．若浸泡时长不超过12h ，其中一类衣物经过浸泡 处理后可能达到 A 级标准，该类衣物达到 A 级标准至少需要浸泡_____ h （精确到0.1）． 另一类衣物若不能达到 A 级标准，可以添加一种液体 M去除 P的含量，设加入液体 M后的 浸泡时间为 t h,去除衣物 P的含量为 Qmg/kg ,它们之间的关系式为：Q=7t2,则这类衣物 经过浸泡处理后可能达到 A 级标准，该类衣物达到 A 级标准至少还需要_____ h 26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2＋bx＋4（a＞0）过点（2，4），设抛物线的 对称轴为 x=t， （1）求 t 的值； （2）如果点 A（m－2，y1），B（m，y2），C（m＋1，y3）是抛物线上的点，且总有 y1＞y3 ＞y2，求 m 的取值范围． 27. 如图 1，在正方形 ABCD中，点 E 是边CD上一点，且点 E 不与 C、D 重合，过点 A 作 AE 的垂线交CB 延长线于点 F，连接 EF ． （1）计算 AEF 的度数； （2）如图 2，过点 A 作 AG EF ，垂足为 G，连接 DG ．用等式表示线段CF 与 DG 之 间的数量关系，并证明． 28、在平面直角坐标系 xOy 中，给定⊙O，如果点 P 绕点 M 顺时针旋转 90°，正好落在⊙O 上，则称点 P 是⊙O 关于点 M 的“旋转定点”，称点 M 是点 P 关于⊙O 的“旋转中心”，如果 线段 AB 绕点 N 顺时针旋转 90°后，正好是⊙O 的弦，则称线段 AB 是⊙O 关于点 N 的“旋转 定弦”，称点 N 是线段 AB 关于⊙O 的“旋转中心”。例如 若 O 是坐标原点，⊙O2的半径为 2， （1），如图 1，在点 P1（0，0），P2（4，0），P3（5，√3），P4（0，4）中， 可以作为⊙O2 关于点（3，3）的“旋转定点”的是 ； （2）如图 2，已知点 A（3，1） ①若点 A 是⊙O2 关于点 T 的“旋转定点”，并且旋转后刚好落在（-2，0），求点 T 的坐标 ②点 B（5，-1），若线段 AB 为⊙O2 关于点 T 的“旋转定弦”，直接写出 T 的坐标。 图 1 图 2