辽宁省普通高中部分校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

高三期中 数学 参考答案及解析 2024-2025学年度上学期高三年级期中考试 一、单选题 1.D【解析】因为iz=1+i,所以z=1-i,所以z=1+i,z=2. 2.C【解析】取0=1，lnx0=0<1,因此A是真命题：当-2<x<3时，x2-x-6<0,因 此B是真命愿：311=1，因此C是假命题：K-1)P>0,因此D是真命题。 3.DI解析】因为MON≠O,所以M与N均不为空集，因为MUN≠U,所以当N二M时， 则MU(CuN)=U,又M是U的直子集，故A不正确：若McN,则Mn(CuN)=, 故B不正确：因为Cu(MUN)=(CuM)n(CuW),所以Cu(MUN)S(CuN),故C不正确： 因为Cu(MnN)=(CuM)U(CuN),所以Cu(MnN2(CuM),故D正确 4.D【解析】根据题意，sin(0+10）= sin 160 sin160°cos20 tan20-√3sin20°-√3cos20 sin 20 cos 20 sin 20'cos 20'sin 20cos 20 sin 40 2sin20- -2sin 40 2sin40=-4,设f=0+10°， c0s20 2sin(-40）】 则0=1-10，sin1=-}而m(20+10）=m2:-20+1w）=cos24=1-2sn, 1-2-3 5A【解析】令网=2-1+-0，得a=2-卡令g=25其中x(一，-0，由 于存在x和∈（一0，一1），使得x0)=0,则实数a的取值范围即为函数gx)在区间（一0， -)上的值域。由于函数y=25,y=一在区间（一0，一1）上均单调递增，所以函数g)在区 间(-0，-止单调通增.当x∈(-0，-1时，g)=2-←21+1号又g)=2-> 0,所以函数g在区间（一0，一）上的值域为(0，多)，因此实数a的取值范围是(0，多 6.B【解析】由(x-1)x)<f(x)在(0，+o)上恒成立，知"(x)+f(x)-f(x)>0在 高三期中 数学 0,+w上恒成立，令g)=四，x>0,则g)=")+f)-田>0，所以 er e g(x)在区间(0，+o)上单调递增.又2-e,则不等式(x+3)x+3)<2e2可变形为 x+3)fx+3)<2f(2,即gr+3)<g2,所以0<x+3<2,解得-3<<-1 c*3 e2 7.DI解析】对于选项A,连接AC,交BD于点F,连接FC1,AC,则AF∥AC,AF=AC, 所以四边形AFC,A为平行四边形，易知∠CFC=60°，BD⊥平面AACC,，CFC 平面AACC,则BD⊥FC,又AC⊥BD,所以∠CFC是平面BDC与平面ABCD所成的 角，即为60，故A错误：对于选项B,正四棱台ABCD-48CD的高为 上底面对 2 角线A1C=√2，下底面对角线AC-22,易得AM1=互，易知 FA=FB=FC=FD=FA=FB=FC=FD=√互，所以F为球O的球心，且半径为 2,所以球0的体积为小5-8y5元，故B错误：对于选项C,易得BD⊥平面 3 ACCA,且BDC平面BDC,从而平面BDC⊥平面ACCA,如图，连接AC,交FC 于点G,连接AF,则四边形AFCC为菱形，则AG=GC,AC⊥FC,又ACc平 面ACCA,平面ACCA∩平面BDC=FC,所以AC⊥平面BDC,因为GEc平面 BDC,所以AC⊥GE,故CE=AE,所以AE+AE=CE+EA≥AC=2N2,故C 错误：对于选项D,因为AC⊥平面BDC,垂足为G,所以A,G为直线AA到平面BDC 的距离，从而点4到平面BDC的距离为AGY6 ，设直线AE与平面BDC所成的角为O, 则sin0=4 所以0≤60°，故D AE ,因为AE≥AF,所以sin0=4C≤4G-5 AE AF 2 正确 2 高三期中 数学 B D 8.D【解析】因为f(x)=ax2-(2a-1)x+a-1-xnx=a(x-1)2+x-1-xhx,所以 f'(x)=2a(x-1)-nx(x>1),当a≤0时，由于2a(x-I)≤0，lnx>0,故f(x)<0,f(x) 在区间（山，+∞）上单调递减，此时f(x)<f)=0,不合题意；当a>0时，令 A=f(=2ax-》-lnc>.则()=2a-士，由N)-2a--0可得x=名，当 2a 0<云≤，即a≥号时则当xeL+o)时，州>0()在区同L+四)上单调造增，即了问 在区间(L,+o)上单调递增，所以f(x)>了①)=0，所以f(:)在区间(1，+∞)上单调递增， f>0-0,满足思意.当六10<a号时，则当x动 时， ()<0所h()在区问分)上单得港减。即了在区同，上单调递减，故 当x分)时，了了0=0，y单调递减，由于f0=0,故当xa)时， f(x)<f()=0,不合题意.综上可知，实数a的取值范围是，+o): 二、多选题 9ACD【解析】由2x+p=ak∈Z),得x=受-号k∈Z,因为函数的图象关于直线x= 对称，所以经-号受k∈Z,即p=km一钙k∈Z.结合0<p<,得p受所以网 =c0s(2r+对于A,令2≤2r+径≤2a+rk∈Z,得a-号≤r≤+k∈Z,当大 =0时，一≤x≤票因为（一吾君c(-景君》，所以在(-吾名上单调递减，故A 正确：对于B,令2x+号-标∈Z,解得x号-k∈Z.故B不正确：对于C,网 图象的对称轴方程为x-受-号传∈Z,当k=3时，-石故C正确：对于D,由A分析 高三期中 数学 知，函数网=c02x+号在x-对取得极小值，所以在（一票骨上有一个极值点， 故D正确， 10AD【解折】因为点E为线段CD上的一点，CE=DE,所以C正=}，则 BE=BC+CE=,BA+BC,故A正确：BE在CD上的投影向量是CE,故B错误：由题意， 可知BC=BA=1,BABC=0,因为F为线段BE上的动点，所以设 酥=证=+k8C[小，则不=孤+所-传-函+8c,又因为6为A 的中点，所以DG=Di+4G=-6c+号4F-非-81+台-BC,若存在点F使得 直线DG∥BE,则DG∥BE, 兮-小=非可 该方程无解，故不存在点 F使得直线DG∥BE,所以C错误；由C可得AFDG= [传-ai+c-传-jpc--可+4传-可 -k-名又因为ke,所以当=1时，示.DG取到最小值 18故D正确 11.ACD【解析】若f(x)有极值点，则(x)=3x2-2ar-b有变号零点，故4=4a2+12b [3-2a-b=0, >0,故a2+3b>0,故A正确：因为当x=1时，fx)有极值10，所以1-a-b+42=10, [a=-4, [a=3, 解得b=11 或b=-3.当a=3,b=-3时，f(x)=3x2-6x+3=3x-1P≥0，此 时∫(x)在x=1处无极值，不符合题意，经检验，当a=一4，b=11时满足题意，所以 f()=3x2+8x-l11,"(x)=6x+8,令f(x)=0,则6r+8=0,解得x=-4 此时函数对应的拐点为 故B错误：若a=2时，fc)在（一0，十0）上无极 值点，则∫()在(-0，+o)上是单调函数，即f'(x)=3x2-4x一b≥0恒成立，则有4= (一4y-4x3×(-b)≤0，即16+12b≤0，解得b≤-3，故b的取值范围为 -3 高三期中 数学 故C正确：当a=3,b=2时，f(x)-8=x3-3x2-2x+1,由f(x)-8=0有 23x2二2x+150,同时除以x2得1--+=0，令=4，=4，三5，由 知1，42,43是方程r-2r2-31+1=0的三个根，则-22-3+1=(t-4)1-42)t-4), 展开得4+12+1=2,42+4+14=-3，中=-1，则 行+号+是=+5+5=化+6+名-2华+华+丛)=4+6=10，放0正确 三、填空题 12.21【解析】由{an}满足a-4+2an=0且2a3+3a4=16,知数列{an}是公比为一2的等比数 列.则2(-2a+3-2a=16,解得a1=-1,则3=二重-（-29 =21. 1-(-2) 13.0【解析】设直线y=x+与曲线y=h(x-)的切点为(o),由y= ,所以 x-1 =1,解得无=2，所以切点为(2,0)又切点在直线y=x+1上，所以1=-2，即切线 %-1 方程为y=x-2.因为直线y=x-2与曲线y=ar2-3x相切，所以a2-3x=x-2,即 x2-4x+2=0,由4=0解得a=2,所以a+t=0. 2-V2,【解析】以D为坐标原点，D4,DC,D0所在直线分别为x水z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,1),B1,1,0),C(0,1,1),由题意可设 DM=元DA+I-)DB=(L,1-A,1-2),DN=4DB+(1-H)DC=(4,1,1-4),其中 元4∈[0，，所以M=DN-DM=(4-L入，元-)，显然DD=(0,0,1)为平面ABCD的法向 MN.DD 量，所以sin45°= 2-4 即24-24+1=0， 2 M·DD Vu-1)2++(- 0<4≤1 显然4≠0，从而 0sA-2-sr即us1,-a-=e+ 24 高三期中 数学 因为立在}上单流，在个侣小上单地，所以- 在 [上的最小值为5，最大丝为号所以网-立武口立的取值意 围是2-2,1 四、解答题 15.解：(1)因为(a-c-b)sinB+asinC=0, 由正弦定理可得(a-c-b)b+ac=0, (2分) 即ab+ac=bc+b,整理可得a=b, 所以△ABC为等腰三角形. (5分) (2)由(1)可得△ABC是边长为2的等边三角形， 在△DBC中，设∠DBC=a0<a<引 由正弦定理得 CD BC sin∠OBC sin∠BDC 所以CD= BCsin DBC_2sina=4sina sin∠BDC 5π (7分) sin- 6 连接AD,在△4Dc中，∠DCA=行∠DCB=+a (8分) 6 由余弦定理得AD2=CD2+AC2-2CD·4Ccos.∠DCA =(4sina)}'+22-2×4sina×2×cos =16sina+4-16sin a coscosa-sin "sina 6 6 6 高三期中 数学 =24sin2a+4-8v3 sin a cosa -12(-0s2a)+4-4/5sin2a-16-8/sin2a+) (11分) 因为0<a<所以<2a+所以当2a+号-即a=时m+引}-1 此时AD2m=16-8W5,所以AD=V16-85=25-2 (13分) 16解：a由f倒=行-+(c-2e,知 f'(x)=a(x-1)+(x-2+1)e=(x-1)(e*+a) (2分) 当a≥0时，e+a>0,当x∈(1，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增：当x∈(-o,I)时， (x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)的极小值点为x曰1，无极大值点 (4分) 当-e<a<0时，n(-a)<1, 当x∈(-o,ln(-a)U1,+c)时，f(x)>0,则f(x)的单调递增区间是(-o,ln(-a)和 (L,+9o): 当x∈(n(-a),时，f'(x)<0,则f(x)的单调递减区间是(n(-a),): 所以f(x)的极大值点为x=ln(-a),极小值点为x=l. (6分) 当a=-e时，f"(x)=(x-l1)(e-e≥0，则f(x)在(-o,+o)上单调递增，没有极值点. (7分) 当a<-e时，ln(-a)>l,当xe(-o,1)U(lnf-a),+o)时，f'(x)>0,则f(x)的单调 递增区间是(-o,1)和(n(-a),+o: 当x∈(1，ln(-a)时，f'(x)<0,则f(x)的单调递减区间是(1，n(-a). 所以f(x)的极大值点为x=l,极小值点为x=lh(-a) (9分) 综上，当a<-e时，f(x)的极大值点为xl,极小值点为x=n(-a):当a=-e时，f(x) 没有极值点：当-e<a<0时，f(x)的极大值点为x=n(-a),极小值点为x=l:当a≥0 时，∫(x)的极小值点为x=1,无极大值点 (10分) 高三期中 数学 2fe-x-2+(-2e=(c-2e+ 因为x∈[2，+o),有f)20,所以e+ax≥0，即a≥-2e (12分) 令g()=-2g,则g时)=2x-, 当xe[2,+o)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)≤g(2)=-e2,所以a≥-e2, 所以实数a的取值范围是[-e子，+o）: (15分) 17.解(1)由题意可得a1=2+1:a2=3+2+1:a=4+3+2+1: a4=5+4+3+2+1:a5=6+5+4+3+2+1: (1分) 所以aa=a+1)+n+a-)+…+1=n+n+2 (3分) 2 则-立2hn+2 11 ) (4分) 所以+女坊 =对对-++a3 (7分) (2)由(1)知，(n+2)2Sn=m2", (8分) 所以Tn=1×2+2×22+…+n2①， 所以2Tm=1×22+2×23+…十m2m州②， (10分) ①-②得，一Tm=(2+22+23+…+2)-21, 所以-7，= 2-29-n21=-2+2-m2, 1-2 所以Tn=2-2+1十m2, (12分) 又(Tn+2m+1-2)≤m2+4)2, 所以m2≤m2+4到2%，即≤”+4=号+2 (14分) 2n -2n 高三期中 数学 因为号+子2，当且仅当川=2时，等号成立， 所以≤2，即1的取值范围为（一0,2]： (15分) 18.(1)证明：连接AC,交AC于点O,连接OD,如图， 因为四边形ACCA为平行四边形，所以O为AC的中点. (2分) 又D为AB的中点，所以DO/CB. 又CB文平面ACD,DOc平面ACD,所以CB∥平面ACD. (5分) (2)解：取AB的中点为F,连接DF,则BD,CD,DF两两垂直，以D为原点，DB.DC,DF 的方向分别为x,,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2a,(6分) 则Daao.c05a0.E5a B(a,0,0),A(-a,0,v6 因为DE⊥AC,所以DE,AC=0,即3a2-3=0,解得a=1, DB=L,0,0),D4=(-1,06),DC=(0,5,0) (9分) 设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),则 m-DE-y6 2=0 m.DB=x=0, 取z=-2,得y=√互，所以平面ABE的一个法向量为m=(0,√2，-2)： (12分) n-DC=3b=0, 设平面A,CD的法向量为n=(a,b,c),则 n.DA=-a+6c=0, 高三期中 数学 取c=1,得a=V6,所以平面4CD的一个法向量为n=(√6,0， (15分) 设平面ACD与平面ABE的夹角为a, nm 2 V42 则cosa= nm√7×√621 即平面4CD与平面ABE夹角的余弦值为 (17分) 21 19.(1)证明：当n=1时，a,=S,=2a1-2,解得a1=2: 当n≥2时，an=Sn-Sn1=2an-2-(2an-2),整理可得an=2a4 即{a}是首项和公比均为2的等比数列，所以a,=2“. (2分) 若a4=a,4,则2=2,2=2+， 则当k=i+j时，对任意正整数i,ji≠），都存在正整数k,使得a,=a,·a: 所以{a}具有“性质P”. (4分) (2)证明：因为数列{b}是首项为1的等差数列，所以b。=1+(n-1)d, 则b=1+(k-)d,b=1+(i-1)d,b,=1+(j-1)d, (5分) 若数列{.}具有“性质p”,则1+(k-1)d=[1+(i-1)d][1+(-1)d 则1+(k-)d=1+d[j-1)+(i-]+(-1(j-1)d, 则(k-1)d=d[(-1)+(i-1]+(i-1)j-1)d2, 则d[0-1)+(-1)-(k-1)]+(i-1)0-1)d2=0, 则d[0-)+i-)-(k-1)+t-1-1)d]=0. (7分) 当d=0时上式成立，此时数列{b}具有“性质P”, 当d≠0时，（j-1)+(i-1)-(k-1)+(i-1)(j-1)d=0, 即i+j-1+(i-1)(j-1)d=k. 当deN时，i+j-1+(i-1)(i-1)d也是正整数，即k=i+广-1+(i-1)(j-1)d成立， 62024-2025学年度上学期高三年级期中考试 数 学 本卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后,将答题卡交回。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题所给的四个选项中,有且只有一项 是符合题目要求的) 1. 若i·z-1十i,则z- C.5 A.一5 B. 一2 D. 2 2. 下列四个命题中是假命题的是 A. 习xR,lnx<1 B. 曰xR,x2-x-6<0 C. VxR,3+1>1 D. VxER,(x-*二0 3. 已知集合U为全集,集合MON≠,MUNU,则 A. MU(CN)CM B. MO(CN)-M C. C(MUN)D(fN) D. C(MON)二(CM) 4. 若sin(e+10)(tan20*-、/3)-sin 160”,则sin(20+110*)= A.-7 B.- C1 D7 2 A.(0}) C.(-) B.(一,0) D.(3},~) 6. 已知定义在(0,十oo)上的函数f(x)及其导函数f'(x),满足(x一1)f(x)<xf'(x),且 f(2)-e,则不等式(x十3)f(x十3)<2e*+*的解集为 A.(1,2) B.(-3,一1) C.(1,3) D.(1,+) 高三数学 第1页(共4页) 2,E为△BDC,内部(含边界)的动点,则 A. 平面BDC,与平面ABCD的夹角为45* B. 球O的体积为83t C. EA十EA,的最小值为3、/2 D. AE与平面BDC,所成角度数的最大值为60" 8. 已知函数f(x)-ax2-(2a-1)x十a-1-xlnx,若f(x)>0在区间(1,十oo)上恒成立,则 实数a的取值范围是 A.(-~) C.[1,] B.[+) D.,~) 二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题所给的四个选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9. 已知函数f(x)-cos(2x十q)(0<<x)的图象关于直线x- A. f(x)在(-,)上单调递减 D. f(2)在(一,)上有一个极值点 动点,G为AF的中点,则 A. B-1BA+BC B. BE在CD上的投影向量为EC C. 存在点F,使得直线DG/BE 高三数学 第2页(共4页) 11. 设f(x)是f(x)的导函数,f”(x)是f'(x)的导函数,若方程f”(x)一0有实数解x。,则称点 (x。,f(x。))为函数y一f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,且 “拐点”就是三次函数图象的对称中心,已知函数f(x)一x-ax*一bx十a②,则 A. 若f(x)有极值点,则。{十3>0 B. 若当x=1时,f(tx)有极值10,则y-f(2)对应的拐点为(-,f(-))或(1,f(1)) C. 若当a-2时,f(x)在(-oo,十o)上无极值点,则6的取值范围为(-~o,-] D. 若当a=3,b=2时,曲线y-f(x)-8与x轴分别交于A(x,0),B(x,0),C(x,0), 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12. 设数列(a.)的前n项和为S.,且满足a.,+2a.-0,2a:+3a.-16,则S。- 13. 已知直线y=x十t是曲线y-ln(x-1)和y=ax*-3x的公切线,则a十:的值为 14. 已知正方体ABCD-A.B.C.D.的校长为1,点M,N分别是线段AB.,BC.上的两个动点. 若MN与底面ABCD所成角的度数为45*},则线段MN长度的取值范围是 四、解答题(本大题共5小题,共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a一c一b)sinB+asinC-0,D 为△ABC内一点 (1)判断△ABC的形状; (2)若C_" 16.(15分)已知函数/(z)-a(-x)+(x-2)e*(aR). (1)求f(x)的极值点 (2)若VxE[2:士q),有f(x)二0.求实数。的取值范围 高三数学 第3页(共4页) 17.(15分)观察下面图形中小正方形的个数,若第”个图形中的小正方形的个数为a。,令 (1)求a.及数列(b.)的前n项和S。; (2)设数列((n十2)·2”·S.)的前n项和为T。,若x(T.+2”+1-2)<(n2+4)·2”恒成立, 求入的取值范围. 18.(17分)如图,在正三梭柱ABC-A.B.C.中,D,E分别是AB,C.C的中A C 点.若AA.=/6,DE1A.C. (1求证:C.B/平面A.CD; (2)求平面A.CD与平面ABE夹角的余弦值 19.(17分)如果无穷数列(a.)满足“对任意正整数i,j(i≠j),都存在正整数k,使得a.一a;· a”,则称数列(a。)具有“性质P” (1)记数列(a。)的前n项和为S.,若S.一2a。一2,求证:(a.)具有“性质P”; (2)若等差数列《.)的首项.一1,公差为d,求证:{b.)具有“性质P”的充分条件是dEN; (3)如果各项均为正整数的无穷等比数列(c.)具有“性质P”,且2l,4{3,6三个数中恰有两 个出现在数列(c.)中,求满足题意的(c.)的公比 高三数学 第4页(共4页)