精品解析： 湖南省张家界市永定区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

永定区2024年秋季学期九年级期中教学质量监测试卷 数 学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 其图象分别位于第一、三象限 C. y随x的增大而增大 D. 如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 3. 若，且面积比为，则与的周长比为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻增大，则电流为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A. B. C. D. 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 7. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 8. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，） A. B. C. D. 9. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ） A. 2：1 B. 1：2 C. 3：2 D. ：1 10. 已知关于的一元二次方程、、是常数，且的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 该方程无解 二、填空题（共8小题，每小题3分共24分） 11. 若，则________． 12. 若反比例函数的图象经过点和，则的值为 _____． 13. 若，则_______． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于________． 15. 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____． 16. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 17. 如图，在△的边上有一点，边的延长线上有一点E，且，交于，，，则______． 18. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点，若，，则_______． 三、解答题（共66分） 19. 解方程 （1）2x2+4x+1=0 （配方法） （2）x2+6x=5（公式法） 20. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 21. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 23. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 24. 如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地． （1）若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽； （2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积． 25. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． （1）求图中点A的坐标和段的表达式； （2）王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 26. 如图，在矩形中，，，点P沿AB边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以的速度移动，如果P，Q同时出发，用t表示移动的时间，那么： （1）当t为何值时，的长为？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ （3）求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2024年秋季学期九年级期中教学质量监测试卷 数 学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．据此进行判断即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，整理得，不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、，即，是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 其图象分别位于第一、三象限 C. y随x的增大而增大 D. 如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，根据反比例函数知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴点不在它的图象上，故A项不符合题意， ∵ ∴图象分别位于第二、四象限，故B项不符合题意， ∴函数在时，即和时，y随x的增大而增大，故C项不符合题意， ∵如果点在它的图象上，即， ∴点也在它的图象上，故D选项符合题意， 故选：D． 3. 若，且面积比为，则与的周长比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可解决问题． 【详解】∵，且面积比为， ∴与的相似比为 ∴与的周长比为． 故选：A． 4. 如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻增大，则电流为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设先求出的值，从而得出反比例函数解析式，再将代入反比例函数即可得出答案． 【详解】解：电流是电阻的反比例函数， 设 把，代入，得 电阻增大 把代入，得 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握欧姆定律是解题的关键． 5. 根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围． 【详解】解：∵当时，当时， ∴当x在中取一个值时，， ∴一元二次方程的某一个解的取值范围是． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解． 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 7. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 8. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， 雷锋雕像为2m， ∴ ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 9. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ） A. 2：1 B. 1：2 C. 3：2 D. ：1 【答案】D 【解析】 【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可． 【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图， 则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴x：y=y：， 解得x：y= ． 故选：D． 【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握． 10. 已知关于的一元二次方程、、是常数，且的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 该方程无解 【答案】C 【解析】 【分析】根据换元法求解，令，，即可求出方程的解. 【详解】由题意得， ，， ∴，. 故选C. 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理. 二、填空题（共8小题，每小题3分共24分） 11. 若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 12. 若反比例函数的图象经过点和，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，并求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和， ， ，即， ∴， 故答案为：． 13. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，由，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， 故答案为：． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴 ， 和同底等高 故答案为：1． 15. 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____． 【答案】-1 【解析】 【详解】x1x2= k2=1,k=.k=1时， 舍去.所以k=-1. 16. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 17. 如图，在△的边上有一点，边的延长线上有一点E，且，交于，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，作交于点G，可得，，再根据得到，最后将化为即可得解. 【详解】解：如图，过点D作交于点G， ∴，． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 18. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据菱形的性质得，，，在中根据得，，则，进而得，，从而得，然后证和相似可得则的值． 【详解】解：设， 四边形为菱形， ，， 和为直角三角形，且， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形相似的额判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 解方程 （1）2x2+4x+1=0 （配方法） （2）x2+6x=5（公式法） 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）配方法求解可得； （2）公式法求解可得． 【小问1详解】 （1）解：2x2+4x=﹣1， x2+2x=﹣ ， x2+2x+1=﹣ +1，即（x+1）2= ， ∴x+1=± ， 则x=﹣1± ∴ 【小问2详解】 解：x2+6x﹣5=0， ∵a=1，b=6，c=﹣5， ∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56， 则x= =﹣3 ，． 【点睛】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键． 20. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 21. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案； （3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ，即； 将，代入，得， 点的坐标为， 将点，的坐标代入一次函数中，得，解得， ； 【小问2详解】 解：在直线中，当时，， 点的坐标为，即， ； 【小问3详解】 解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、， 或． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 23. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）10； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 24. 如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地． （1）若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽； （2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积． 【答案】（1）新的矩形绿地的长为，宽为 （2）新的矩形绿地面积为． 【解析】 【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论； （2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积． 【小问1详解】 解：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ． 答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m． 【小问2详解】 设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为， 根据题意得：， 即， 解得：， ． 答：新的矩形绿地面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程与一元一次方程． 25. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． （1）求图中点A的坐标和段的表达式； （2）王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于． 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数、反比例函数的解析式及根据解析式求解不等式． （1）将点坐标代入反比例函数解析求出段的表达式，再代入点的横坐标即可求解； （2）求出函数在上解析式，令，解出的范围，即可判断． 【小问1详解】 解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为； 【小问2详解】 略 26. 如图，在矩形中，，，点P沿AB边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以的速度移动，如果P，Q同时出发，用t表示移动的时间，那么： （1）当t为何值时，的长为？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ （3）求四边形的面积． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理得，，建立方程即可． （2）有两种情况，分别讨论，利用相似三角形的性质即可求得． （3）根据，即可求得． 【小问1详解】 解：由题意有：，AP＝2t，； ∴； ∵； 根据勾股定理得，； ∴； ∴或． 【小问2详解】 以点Q、A、P为顶点的三角形与相似， 由（1）有，，且，； 时， 有； ∴； ∴； 时，有； ∴； ∴． ∴以点Q、A、P为顶点的三角形与相似，有或． 【小问3详解】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $