专题2.1 圆的对称性（六大考点+过关训练）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题2.1 圆的有对称性 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用垂径定理求值】 1 【考点二 利用垂径定理求平行弦问题】 4 【考点三 垂径定理的推论】 7 【考点四 垂径定理的实际应用】 9 【考点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 12 【考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 15 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 利用垂径定理求值】 例题：（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是上一点，连接．弦于点．若，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 【考点二 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式训练】 1．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 2．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【考点三 垂径定理的推论】 例题：（23-24九年级上·广西防城港·期末）下列判断正确的是（　　） A．弦心距相等则弦也相等 B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分 C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等 D．弦的垂直平分线必定经过圆心 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点四 垂径定理的实际应用】 例题：（24-25九年级上·北京海淀·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为 寸． 2．（2024九年级上·北京·专题练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【考点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，交于点B，． (1)求的度数； (2)求弧的度数． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 【考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的两条弦，且． (1)求证：平分； (2)若，求半径的长． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A，C在以AB为直径的⊙O上，D为弧AC的中点，连接BD与AC交于点E，若 (1)求证： (2)求⊙O 的半径． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法：其中正确的说法有（   ） ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②相等的弦所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④长度相等的弧所对的圆心角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，是直径，，，则的度数为（） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 5．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点C、D在以为直径的半上，平分，于E，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ． 7．（2024·浙江杭州·一模）如图，已知是半圆O的直径，弦，，弦与之间的距离为3，则 ． 8．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ． 10．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为 三、解答题 11．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 12．（24-25九年级上·青海海西·期中）如图，是的直径，四边形内接于，分别连接、，相交于E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 16．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 17．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程__________（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为是位于圆心异侧的两条平行弦，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 18．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点C给出如下定义：若点C关于弦中点的对称点恰好在上，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，，弦的中点为P．在点，，中，弦的“关联点”是 ； (2)如果的弦，直线上存在弦的“关联点”Q，直接写出点Q的横坐标的取值范围； (3)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．若对于每一点S，将其对应的弦的长度的最大值记为d，则当点S在线段上运动时，d的取值范围是多少？直接写出你的答案． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 圆的有对称性 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用垂径定理求值】 1 【考点二 利用垂径定理求平行弦问题】 4 【考点三 垂径定理的推论】 7 【考点四 垂径定理的实际应用】 9 【考点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 12 【考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 15 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 利用垂径定理求值】 例题：（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是上一点，连接．弦于点．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，如图，连接，则，由弦，可得，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， 如图，连接，则， ∵弦， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形．熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，作于，则，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，进而可求点坐标． 【详解】解：如图，连接，作于，则，    由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、折叠问题 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，折叠的性质，作点关于的对称点，连接，交于点，得到垂直平分，根据点与圆心重合，得到，，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分， ∴， ∵点与圆心重合，为直径， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴， ∴；即半径等于； 故答案为：． 【考点二 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 2．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 【考点三 垂径定理的推论】 例题：（23-24九年级上·广西防城港·期末）下列判断正确的是（　　） A．弦心距相等则弦也相等 B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分 C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等 D．弦的垂直平分线必定经过圆心 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、垂径定理的推论 【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误； B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误； C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误； D、根据垂径定理得到，故该选项正确． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、垂径定理的推论 【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意； C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】垂径定理的推论、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 【考点四 垂径定理的实际应用】 例题：（24-25九年级上·北京海淀·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      【答案】1 【知识点】垂径定理的实际应用 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为 寸． 【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设圆形木材的圆心为，延长，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆形木材的圆心为，延长，连接， 如图所示：由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 故答案为：13． 2．（2024九年级上·北京·专题练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 【考点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，如图，则， 在中，， ∴， ， ， 在中，， ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，交于点B，． (1)求的度数； (2)求弧的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答． （1）连接，由，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数． （2）由（1）得，由平角的定义得的度数，从而可求出弧的度数． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 而，得， ∴， 而， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， 又， ∴ ∴弧的度数为． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2)的半径是 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，得出，即可得出的度数，求出，即可得出的度数； （2）由等边三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图：连接， ， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的度数为， ∴，即的度数为； （2）解：由（1）可得：为等边三角形， ∵弦的长为， ∴， ∴的半径是． 【考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的两条弦，且． (1)求证：平分； (2)若，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、用勾股定理解三角形、三线合一、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）连接，由弧弦圆心角的关系可得，进而可得，得到，即可求证； （）延长交于点，由三线合一可得，，利用勾股定理可得，设的半径为，则，，在中再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：延长交于点， ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A，C在以AB为直径的⊙O上，D为弧AC的中点，连接BD与AC交于点E，若 (1)求证： (2)求⊙O 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)⊙O 的半径为 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求值、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查对圆的认识，垂径定理和勾股定理等知识，连接，证明是解答本题的关键． （1）连接，证明得，可得结论； （2）由求出证明得由三角形中位线得再由勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则 ∵D为弧AC的中点， ∴即 在和中， , ∴， ∴， ∵, ∴， ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵为的中点，F为的中点， ∴为的中位线， ∴即 ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即⊙O 的半径为． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法：其中正确的说法有（   ） ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②相等的弦所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④长度相等的弧所对的圆心角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】垂径定理的推论、圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆相关定义，垂径定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．根据圆相关定义，垂径定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故②错误， ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故③错误； ④同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆心角相等，故④错误． 故正确的是①， 故选：A． 2．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 3．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，是直径，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等孤对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的=关系，垂径定理和三角形中位线性质． 作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为△的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ， 而， ， ， ， ， ， 而， 为△的中位线， ． 故选：D． 5．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点C、D在以为直径的半上，平分，于E，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，作于点F．根据垂径定理求得，再证明，得，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，作于点F． ∵为半的直径，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由可得，，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·浙江杭州·一模）如图，已知是半圆O的直径，弦，，弦与之间的距离为3，则 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】过点O作，连接,则，结合，弦与之间的距离为3，得到，利用勾股定理，得，解答即可． 本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】过点O作，连接，则， ∵，弦与之间的距离为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 8．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，据此即可求解； 【详解】解：由图可知：， 分别作出弦的垂直平分线，如图所示： 根据弦的垂直平分线必过圆心可得：该圆弧所在圆的圆心坐标为， 故答案为： 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ． 【答案】2米 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故答案为：2米． 10．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为 【答案】7或17 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 三、解答题 11．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径是5． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 12．（24-25九年级上·青海海西·期中）如图，是的直径，四边形内接于，分别连接、，相交于E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等，解题的关键是综合运用上述知识点． （1）根据垂径定理的推论可得，，由三角形中位线定理即可判定； （2）由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，最后根据中位线定理可得的长． 【详解】（1）证明：，是半径， ，， 又， 是的中位线， ， ； （2）解：，， ，， 在中，， ， 解得， ∵是的中位线， ． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线和熟练掌握这些定理是解题的关键． （1）连接，交于点，根据圆周角定理得，根据垂径定理得，所以，所以，再根据，所以，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，，所以，所以． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点， 是半圆的直径， ， ， 是 的中点，是半径， ， ∴， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ，， 在中，， 是半径且， ， 在中，， ， 在中，． 14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，圆与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，利用垂径定理及等式的性质即可求证； （2）连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，即可建立方程，解方程即可，利用求解． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵过圆心， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 设， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 16．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． （1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）解：． 证明：， ， ，即． （2）解：①证明：是的中点， ． ， ， ， ， ． ②如图，过点作，是垂足，连接． 在中，，， ， ． 17．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程__________（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为是位于圆心异侧的两条平行弦，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【知识点】一元二次方程的一般形式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，再利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【详解】（1）解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； （2）解：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． （3）解：连接，，作于，作的延长线交于，如下图：    ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，构成直角三角形，是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 18．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点C给出如下定义：若点C关于弦中点的对称点恰好在上，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，，弦的中点为P．在点，，中，弦的“关联点”是 ； (2)如果的弦，直线上存在弦的“关联点”Q，直接写出点Q的横坐标的取值范围； (3)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．若对于每一点S，将其对应的弦的长度的最大值记为d，则当点S在线段上运动时，d的取值范围是多少？直接写出你的答案． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值、利用垂径定理求值 【分析】（1）求出弦的中点为P的坐标为，再根据对称求出四个点关于点P的对称点坐标，再判断四个对称点是否在上即可得到答案； （2）如图2-1所示，过点O作于P，连接，利用勾股定理和垂径定理求出，得到弦的中点在以O为圆心，半径为的圆上；设点Q关于弦的中点对称的点为R，则的垂直平分线一定与半径为的有交点；如图2-2所示，点Q在x轴上方，当点R恰好在直线上时，设直线与半径为的交于T，与半径为1的交于H，此时点Q与点R关于点T对称，求出，；当点Q的横坐标增大时，点Q到半径为的的最小距离逐渐增大，则点R到半径为的的最大距离逐渐增大，故当点Q继续运动时，点R不可能在半径为1的上，则当时，直线上存在弦的“关联点”Q，同理，在x轴下方，当时，直线上存在弦的“关联点”Q； （3）设点S关于弦中点对称的点为K，要使弦最大，则弦到圆心的距离要最小，即最小，则当三点共线时，，此时一定经过圆心；如图3-2所示，当时，利用等面积法和勾股定理求出，则，求出，可得，则；同理当点S运动到点M时，可得，则． 【详解】（1）解：∵点，， ∴弦的中点为P的坐标为， ∴关于点P的对称点坐标为， ∵点在上， ∴是弦的“关联点”； 同理关于点P的对称点坐标为，关于点P的对称点坐标为，关于点P的对称点坐标为， ∵，， ∴点，都不在上，而点在上， ∴只有，是弦的“关联点”； 故答案为： ； （2）解：如图2-1所示，过点O作于P，连接， ∴， ∴， ∴弦的中点到原点的距离为， ∴弦的中点在以O为圆心，半径为的圆上； 设点Q关于弦的中点对称的点为R， ∵Q、R关于弦的中点对称， ∴的垂直平分线一定与半径为的有交点； 如图2-2所示，点Q在x轴上方，当点R恰好在直线上时，设直线与半径为的交于T，与半径为1的交于H， 此时点Q与点R关于点T对称， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴； ∵点Q到半径为的的最小距离， 当点Q的横坐标增大时，点Q到半径为的的最小距离逐渐增大，则点R到半径为的的最大距离逐渐增大，故当点Q继续运动时，点R不可能在半径为1的上， ∴当时，直线上存在弦的“关联点”Q， 同理，在x轴下方，当时，直线上存在弦的“关联点”Q； 综上所述，或； （3）解：设点S关于弦中点对称的点为K， ∵要使弦最大， ∴弦到圆心的距离要最小，即最小， ∵ ， ∴当三点共线时，， ∴此时一定经过圆心 如图3-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理当点S运动到点M时，可得， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的基本性质等等，正确理解题意通过数形结合的思想找到临界情况是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$