2.5指数与指数函数专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2025高考数学一轮复习-2.5-指数与指数函数-专项训练 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．若2x＝9,4y＝6，则4x－2y＝( ) A. B． C. D． 2．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( ) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 4．已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a>0且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( ) A．(1,6) B．(1,5) C．(0,5) D．(5,0) 5．函数f(x)＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( ) 6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为( ) A．3.6小时 B．3.8小时 C．4小时 D．4.2小时 7．若x满足不等式2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是( ) A. B． C. D．[2，＋∞) 8．设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中不正确的是( ) A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) C.>0 D．f< 二、多选题 9．下列函数中值域为正实数集的是( ) A．y＝5x B．y＝1－x C．y＝ D．y＝3|x| 10．已知函数f(x)＝2－x－2x，有下列四个结论，其中正确的是( ) A．f(0)＝0 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增 D．对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解 11．已知指数函数f(x)＝(a2－3)ax的图象过点(b,2)，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( ) 三、填空题 12．已知函数f(x)是指数函数，若＝4，则f(－2)_________f(－3)．(用“>”“<”“＝”填空) 13．函数f(x)＝的定义域是_________. 14．函数f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大，则a的值为_________. 15．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数___________. ①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)； ②f(x)为偶函数． 四、解答题 16．已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3，8)． (1)求实数k，a的值； (2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 17．已知定义在R上的奇函数f(x)＝a×3x＋3－x，a为常数． (1)求a的值； (2)用单调性定义证明f(x)在[0，＋∞)上是减函数； (3)解不等式f(x－1)＋f(2x＋3)<0. 【B级　能力提升】 1．设a，b满足0<a<b<1，则下列不等式中正确的是( ) A．aa<ab B．ba<bb C．aa<ba D．bb<ab 2．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数．若函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1,3)，则函数y＝的值域是( ) A．[0,2) B．(0,2) C．[0,1) D．(0,1) 3．(多选题)关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是( ) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0，＋∞) C．方程f(x)＝x有且只有一个实根 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 4．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( ) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) 5．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为_________，f(－4)与f(1)的大小关系是_________. 6．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求m，n的值； (2)用定义法证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数； (3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( C )[解析]　2x＝9,22y＝6，则4x－2y＝22(x－2y)＝2＝. 2．( B )[解析]　由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3，故选B. 3．( D )[解析]　y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在定义域内为增函数，∴y1>y3>y2. 4．( A )[解析]　当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1,6)．故选A. 5．( D )[解析]　方法一：当a>1时，0<<1，将y＝ax的图象向下平移个单位长度得f(x)＝ax－的图象，A、B都不符合；当0<a<1时，>1，将y＝ax的图象向下平移个单位长度得f(x)＝ax－的图象，D符合，故选D. 方法二：函数f(x)的图象恒过点(－1,0)，只有选项D中的图象符合． 6．( C )[解析]　由题意可得N0e－4k＝N0，可得e－4k＝，设N0e－kt＝0.64N0＝2N0，可得e－kt＝(e－4k)2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时，故选C. 7．( B )[解析]　将2x2＋1≤x－2化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是. 8．( B )[解析]　2x1·2x2＝2x1＋x2，所以A成立， 2x1＋2x2≠2x1x2，所以B不成立， 函数f(x)＝2x在R上是增函数， 若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，则>0， 若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则>0，故C正确． f<说明函数是凹函数，可知f(x)＝2x的图象满足条件，故D正确．故选B. 二、多选题 9．( AB )[解析]　A项中y>0，B项中y>0，C项中y≥0，D项中y≥1，只有AB项正确．故选AB. 10．( ABD )[解析]　f(x)＝2－x－2x，则f(0)＝－20＝0，故A正确； f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故B正确； f(x)＝－2x在R上是减函数，故C错误； 当x→－∞时，f(x)→＋∞； 当x→＋∞时，f(x)→－∞， 即f(x)的值域是(－∞，＋∞)， 它又是R上的减函数， 因此对任意实数a，f(x)＝a都有解，故D正确． 11．( A )[解析]　由f(x)＝(a2－3)ax为指数函数，得a2－3＝1，又a>0且a≠1，所以a＝2，所以f(x)＝2x，则f(b)＝2b＝2，解得b＝1.此时g(x)＝2|x＋1|＝函数g(x)的图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位长度得到．结合指数函数的图象及选项可知A正确． 三、填空题 12．[解析]　利用待定系数法求出函数f(x)的解析式，再利用函数f(x)的单调性即可比较大小．设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，∵＝4，∴＝4，解得a＝，∴f(x)＝x，在R上单调递减，∵－2>－3，∴f(－2)<f(－3)． 13．[解析]　若使函数f(x)＝的解析式有意义，自变量x须满足：x－2≥0， 解得x∈(－∞，－1]， 故函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]． 14．[解析]　因为0<a<1，所以函数f(x)＝ax在[1,2]内是减函数， 因为函数f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大，所以f(1)－f(2)＝a－a2＝， 解得a＝，或a＝0(舍)． 15．[解析]　若满足①对任意的x1x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)即可． 四、解答题 16．[解析]　(1)由已知得解得 (2)g(x)＝，因此 g(－x)＝＝＝＝－g(x)， 所以g(x)＝为奇函数． 17．[解析]　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1. (2)f(x)＝－3x＋3－x， 设x1>x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2， ∵x1>x2≥0，∴－x1<－x2， ∴3x2<3x1，3－x1<3－x2，即3x2－3x1<0,3－x1－3－x2<0 ∴f(x1)－f(x2)＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2<0， ∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数． (3)∵f(x)是奇函数且在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在R上是减函数． ∵f(x－1)＋f(2x＋3)<0. ∴f(2x＋3)<－f(x－1)＝f(1－x)， ∴2x＋3>1－x， 解得x>－. 【B级　能力提升】 1．( C )[解析]　指数函数y＝ax(0<a<1)为减函数，因为a<b所以aa>ab，A错误；指数函数y＝bx(0<b<1)为减函数，因为a<b，所以ba>bb，B错误；幂函数y＝xa(0<a<1)在(0，＋∞)上为增函数，又a<b，所以aa<ba，C正确；由幂函数y＝xb(0<b<1)在(0，＋∞)上为增函数，又a<b，所以bb>ab，D错误． 2．( D )[解析]　因为函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1，3)， ∴∴ ∴函数f(x)＝2x＋1>1，函数y＝＝<1. 又＝>0，故函数y＝的值域为(0,1)． 3．( ACD )[解析]　函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)关于点对称，所以D正确． 4．为( C )[解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)>3，即为>3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解．∴x的取值范围为(0,1)． 5．[解析]　因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)． 6．[解析]　(1)因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即m－30＝0，解得m＝1， 又因为f(－1)＝－f(1)，所以＝－， 解得n＝1.经检验当m＝1且n＝1时，f(x)＝满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． (2)证明：由(1)得f(x)＝＝－1＋，任取实数x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为x1<x2，可得3x1<3x2， 且(3x1＋1)(3x2＋1)>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)根据(1)(2)知，函数f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上为减函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，即f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)，即t2－2t>－2t2＋k对任意的t∈R都成立，即k<3t2－2t对任意的t∈R都成立．因为3t2－2t＝32－，当t＝时，3t2－2t有最小值，最小值为－，所以k<－，即k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$