精品解析：天津市河北区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷

河北区2024-2025学年度高一年级第一学期期中质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 2. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集、交集、补集、子集的知识确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，B选项错误. C选项，，C选项错误. D选项，不是的子集，D选项错误. 故选：A 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】当“”时，“”； 当“”时，可能，不能得到“”； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可解决. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，”的否定为“，”， 故选：D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质来确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则，所以，所以A选项错误. B选项，若，，则， 所以，所以B选项正确. C选项，若，则，所以C选项错误、 D选项，若，则，所以，所以D选项错误. 故选：B 6. 下列函数中与是同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据各组函数的定义域和对应关系是否相同即可判断. 【详解】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误； B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确； C，与对应法则不同，不是同一函数，错误； D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误. 故选：B 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 8. 下列关于幂函数的描述正确的是（ ） A. 幂函数的图象必过定点（0，0）和（1，1） B. 幂函数的图象可能经过第四象限 C. 当幂指数，，3时，幂函数是奇函数 D. 当幂指数时，幂函数是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数的图象不过，所以A选项错误. B选项，对于幂函数当时，，所以B选项错误. C选项，当时，幂函数是非奇非偶函数，所以C选项错误. D选项，当时，幂函数在定义域上单调递增， 所以D选项正确. 故选：D 9. 已知是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质得到在上单调递减，即可得到的取值情况，再由偶函数的性质得到不等式为，分两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，在区间上单调递增， 所以在上单调递减，且， 又，所以，所以当时，当或时， 则，即，即， 所以或， 解得或，综上可得. 故选：C 10. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得的最小值，进而可得，解不等式即可. 【详解】由已知正实数，满足， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 解得：或， 故选：A. 二、填空题：本大题共5个小题，每空4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】由，解得且， 所以的定义域是. 故答案为： 12. 集合，用列举法表示是______. 【答案】 【解析】 【分析】解一元一次不等式，利用列举法求解即可. 【详解】集合，故用列举法表示是. 故答案为： 13. 已知函数则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数的解析式求得正确答案. 【详解】，则. 故答案为：2 14. 计算：_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 15. 已知函数是上的增函数，，是函数图象上的两点，那么的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，所要解的不等式等价于或，再利用单调性脱掉f，可得或，再结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】由可得或， 因为，是函数图象上的两点， 所以，， 因为是定义在上的增函数， 所以或，解得：或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 三、解答题：本大题共4个小题，共40分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，或. （1）若，求，； （2）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用集合交集、并集与补集的定义求解即可； （2）由可列出不等式组，解不等式组即可得出答案. 【小问1详解】 将代入集合中的不等式得， 因为或， 所以或； 又因为， 所以； 【小问2详解】 因为，或， 又因为，则，所以A不是空集， 因为，所以 解得. 17. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 不等式即， 即，解得，或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得 解得. 综上所述，实数m的取值范围是. 18. 杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据的解析式计算可得； （2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值. 【小问1详解】 依题意可得， 又， 当时； 当时， 所以； 【小问2详解】 当时，， 由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数在上单调递增， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元. 19. 已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求函数在上的解析式: （2）若在上有最大值，求实数b的取值范围； （3）若函数，记函数的最大值，求 的解析式. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解析式即可得解； （2）根据解析式作出大致图象，由数形结合求解； （3）根据二次函数的对称轴与所给区间分类讨论求解即可得解. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数， 则， 若， 则， 则， 又由 为奇函数， 则， 综合可得， . 【小问2详解】 由（1）的结论，， 作图如下: 若在上有最大值， 即函数图象在区间上有最高点， 必有或， 故的取值范围为: . 【小问3详解】 当 时，， 则函数开口向下，且对称轴的方程为， 当即 时， 函数在区间单调递减， 故当时， 函数取得最大值， 最大值是， 当 即时， 函数在 单调递增， 在 单调递减， 故当时， 函数取最大值， 最大值是， 当，即 时， 函数在区间单调递增， 故当时， 函数取得最大值， 最大值是， 故函数的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2024-2025学年度高一年级第一学期期中质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 下列函数中与是同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于幂函数的描述正确的是（ ） A. 幂函数的图象必过定点（0，0）和（1，1） B. 幂函数的图象可能经过第四象限 C. 当幂指数，，3时，幂函数是奇函数 D. 当幂指数时，幂函数是增函数 9. 已知是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 二、填空题：本大题共5个小题，每空4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 函数的定义域为_________. 12. 集合，用列举法表示是______. 13. 已知函数则的值为______. 14. 计算：_________. 15. 已知函数是上的增函数，，是函数图象上的两点，那么的解集是_________. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，或. （1）若，求，； （2）若，且，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 18. 杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 19. 已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求函数在上的解析式: （2）若在上有最大值，求实数b的取值范围； （3）若函数，记函数的最大值，求 的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $