广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度10月考高三数学试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则（     ） A． B．1 C．2 D． 3．曲线在点x=－1处的切线斜率为（     ） A．1 B．0 C．2 D．－1 4、已知，则（     ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的短轴长是长轴长和焦距的等比中项，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．将6把相同的椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的不同坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 7. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 > 0，S3 = S11，则Sn > 0时，n的最大值为（ ） A、14 B、13 C、11 D、7 8．定义：方程的实数根叫做函数的“驻点”．若函数，的“驻点”分别为则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题 6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分.） 9. 下列各项正确的是（ ） A、若随机变量，则 B、若随机变量，则 C、对于事件A、B，若，则A，B互斥 D、用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 10．函数的图象如下图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递减 11．定义在R上的偶函数，满足，则（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡指定位置） 12．在二项式的展开式中，若第k项的二项式系数最大，则k= . 13．若函数是定义在R上的奇函数，则实数a=____. 14.已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，请写出必要的文字说明，推理过程） 15．（13分）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 16．(15分)设为数列的前n项和，满足. (1)求证：数列是等比数列，并求通项公式； (2)记，求. 17．（15分）近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．如图，假设有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下，将四支队伍两两分组比赛，胜者进入到总决赛，胜者即为冠军；双败赛制下，两两分组比赛，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，胜者即为冠军。双败赛制下有意思的事情是，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果分析双败赛制下，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 18．（17分）已知函数. (1)当时，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 19．（17分）若数列满足，则称为E数列，记． (1)写出满足，且的一个E数列； (2)若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由． 2024-2025学年度10月考高三数学 参考答案 1【答案】D【详解】,所以 2【答案】A【简法】直接取模得，，解得. 3【答案】B【详解】，所以曲线在点x=－1处的切线斜率为. 4、 【答案】A【详解1】原式=； 5、 【答案】C【详解】由已知得，,即，同除以得，，故，选C. 6．【答案】D解析1：第一步：3人全排，有=6种方法，第二步：3人全排形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，第三步：根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种． 解析2：将6把椅子依次编号为1，2,3，，4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5,”，“1,3,6”，“1,4,6”，“2,4,6”号位置就坐，故总数为4=24． 7.【答案】B解析1（对称性）∵等差数列{an}的前n项和Sn是二次函数，且S3= S11得， ∴S1= S13 > 0; S0= S14 = 0，故选B。 解析2（性质法）：由S3= S11得，a4+a5+…+ a10+a11=0，由等差数列性质得4(a7+a8) =0， 则a1+a14 =0；从而 S14 = 0. 又∵a1>0，∴必有a7>0，a8<0，由等差数列的单调性及对称性知，S13 > 0，故选B。 8【答案】C【详解】，则，设，，恒成立，所以单调递增，，，所以，，则，设，，得或，，，的变化情况如下表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ， ，所以. ，则，得，得，即，所以 二、多选题 9【答案】AD【解析】对于A，由正态分布的对称性知，，所以，故A正确. 对于B，由即得，故B错误； 对于C，当，则，不互斥，故C错误； 对于D，由残差平方和的统计意义即知D正确， 故选AD. 10【答案】ABD【详解】 对于A，由，且，所以.故A正确； 对于B，因为，由，，得函数的对称中心为：，，当时，得对称中心为：，故B正确；对于C，.其对称轴为：，，所以不是函数的对称轴，故C错误； 对于D，，所以在上单调递减：故D正确. 故选ABD. 11【答案】AC【详解】 对于A，由，令，则，又为偶函数，则，A对； 对于B，由上得①，用代换得②，B错； 对于C，在②式，将代换，得，C对； 对于D，由且，即周期为2且关于对称，显然是满足题设的一个函数，此时，D错. 三、填空题 12．【解析】由二项式系数的对称性及增减性知，对称轴为r1012.5，故k=1013或1014； 13．【解】由是R上的奇函数得，，则a=. 14.【解】设，由题意知是公差为1的等差数列， ∵， ∴，则， 故. 则， . 15．【解析】（1）定义域为（0，+∞）；............................................1分 ;..........................................................2分 令..........................................................3分 列表如下： （0，） （，1） 1 （1，+∞） ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ .....................................................................................................................5分 由上表知，当时，取得极大值; .............6分 当时，取得极小值.......................................................7分 （2）方程有三个不同的实数解， 等价于函数有三个不同的交点；.................8分 当时，，；∴；..........9分 当时，，，∴；............10分 由（1）知，只需；..............................12分 即......................................................................13分 16．【详解】（1）证明：因为，① 当时，可得，解得，..................2分 当时，可得，②....................3分 由①②相减得，..............................4分 即，所以，..........................5分 所以数列是等比数列，首项为，公比为q=，...........6分 所以的通项公式为......................................7分 （2） 由（1）知，可得，................................8分 所以，...........10分 则 ++......+.....................11分 +...................12分 ......................................................13分 ..........................................14分 ........................................................15分 17．【详解】（1）由题意得，若A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， 则A获得冠军的概率为，...........................................3分 若C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， 则C获得冠军的概率为．............................6分 淘汰赛制下，A获得冠军的概率为，...........................8分 （2）“双败赛制”下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，A获得冠军的概率．....................11分 （3） 令，...........13分 若A为强队，则，故，.......................14分 所以，双败赛制下对强者更有利．.....................15分 18．【详解】（1）当时, ，得，.....................1分 所以.......................................................................................2分 ∴，...........................................................................................3分 ∴在点处的切线方程为：， 即：...............................................................................4分 （2） 由得， 当时，恒成立，则在上单调递减；.......................................5分 当时，令得，...............................................................6分 当时，，在单调递减，.......................................7分 当时，，在单调递增............................................8分 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增..................9分 （3） 由（2）可知，当时， 的最小值..................................10分 要证， 只需证..........................................................................................11分 只需证......................................................................................................12分 设.则，令得........13分 当时，，在单调递减；..........................................14分 当时，，在单调递增...............................................15分 所以在处，，.........................16分 所以得证，即得证....................................................17分 19． 【详解】（1）数列0，1，0，1，0是一个满足条件的数列................................3分 （2） 必要性：由数列是递增数列，得，.....................4分 则是首项为2，公差为1的等差数列，所以；...............5分 充分性：由， 得，，……，，.........................................................6分 于是，即，而，，.................................7分 因此，上述各不等式都取等号，..................................................................8分 即，从而是递增数列， 所以E数列是递增数列的充要条件是..............................................................9分 （3） 设，则， 有，，……，，.....................................10分 于是 ，.....................................................11分 由，得为偶数（）， 于是为偶数，.......................................................12分 则要使，必须使为偶数， 即4整除，亦即或，..............................................................13分 当时，数列的项满足，，， 此时，有且成立，................................................................................................14分 当时，数列的项满足，， ，时，亦有且成立，..........................................15分 当或时，不能被4整除， 此时不存在数列，使得且成立，......................................................................16分 所以对任意给定的整数，不存在首项为0的E数列，使得........................17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$