精品解析：重庆市广益中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

重庆市广益中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 （时间：120分钟，分值：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. 6 B. C. 2 D. 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底 10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 11. 如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（ ） A. ∥平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点B到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 过点与直线平行的直线方程______. 13. 在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为______. 14. 已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的平分线所在的直线的方程为． （1）求AB的中垂线方程； （2）求AC的直线方程． 16. 已知圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l：与圆C交于M，N，求. 17. 如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. （1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； （2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足． （1）求点P的轨迹方程； （2）点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市广益中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 （时间：120分钟，分值：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由解出倾斜角即可. 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案. 【详解】解：因为直线与直线，且， 所以，解得， 故选：A. 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案. 【详解】解：因为点在圆的外部， 所以，解得. 故选：C． 4. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 5. 某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论在x轴和y轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率. 【详解】当直线在x轴和y轴上的截距均为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得， 当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得， 所以所求直线的方程为，即， 综上，该直线的斜率是或． 故选：D 6. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得, 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得. 【详解】对A：，故与不垂直，故A错误； 对B：由、，有，故与共线，故B正确； 对C：，且与不共线， 故与所成角为锐角，故C正确； 对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误. 故选：BC. 10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 11. 如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（ ） A. ∥平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点B到平面的距离为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，通过空间向量运算依次判断4个选项. 【详解】以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图，则，，，，，，，， ，，，，． 对于选项A，B： 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，得， 所以与平面不平行，与平面不垂直，即A，B错误． 对于选项C： ，则异面直线与所成角的余弦值为，即C正确． 对于选项D： 又，所以点B到平面的距离为，即D正确． 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 过点与直线平行的直线方程______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行关系可设直线方程为，然后将代入求解即可 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为在直线上， 所以， 所以方程即为所求； 故答案为： 13. 在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为______. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦向量夹角公式进行求解. 【详解】因为底面，平面， 所以，， 又底面是边长为1的正方形， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， PB与平面PCD的夹角正弦值为. 故答案为： 14. 已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程可知直线恒过定点，曲线为半圆，画出图象，数形结合可得到的取值范围． 【详解】直线恒过点. 由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方. 当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为： ， 根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得， 当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点， 当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点， 综上得，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的平分线所在的直线的方程为． （1）求AB的中垂线方程； （2）求AC的直线方程． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出的中点坐标及，故求出AB的中垂线斜率，点斜式求出方程； （2）关于的对称点在直线上，求出，利用两点式求出直线方程，得到答案. 【小问1详解】 的中点坐标为， 又，故AB的中垂线斜率为4， 故AB的中垂线方程为，即； 【小问2详解】 由对称性可知，关于的对称点在直线上， 故，解得， 故， 故直线的方程为，即. 16. 已知圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l：与圆C交于M，N，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，可设圆心，即，可得半径．利用勾股定理、弦长公式计算进而得出答案． （2）求出圆心到直线l的距离d，即可得出弦长． 【小问1详解】 圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切， 设圆心，即，故半径， 则， ∴圆C的标准方程为：． 【小问2详解】 圆心到直线l：的距离， ∴弦长． 17. 如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图： 则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，， ，分别为，的中点， ，1，，，1，， ，0，，，2，， 设平面的法向量为， 则,即，令，则， 因为，，所以， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解； （2）利用向量法求解点面距离即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设点到平面的距离为，所以. 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. （1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； （2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是， 又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD， 平面ABCD，是四棱锥的高， 设，则，矩形的面积， ，， 如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，. 同理可得平面SCD的一个法向量为. ，平面平面SCD. （2）存在点E，E为AS上靠近A点的三等分点 【解析】 【分析】（1）以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量相同证得平行； （2）设，向量法表示已知条件中两平面夹角的余弦值，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在. 设， 则，， 设平面PEB的一个法向量为， 则， 令，则，， ， 易知平面SAD的一个法向量为， . ，， 存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点. 19. 已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足． （1）求点P的轨迹方程； （2）点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】(1) 设点为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程； (2) 设，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，求直线的方程，确定其与轴的交点坐标即可. 【小问1详解】 设点为曲线上任意一点， 因为，，， 则， 化简得． 【小问2详解】 由题意得，， 设，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立得， 则， 即，， 所以 联立得， 则，即，， 所以 当时，直线的斜率， 则直线的方程为， 即，所以， 当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点． 综上，直线恒过定点． 【点睛】本题为直线与圆的综合问题，解决的关键在于联立方程组求出交点坐标，对学生的运算能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $