第1章直角三角形的边角关系单元综合练习题 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》 单元综合练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，，则 (  ) A． B． C． D． 2．若的内角满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，从点观测点的俯角是（    ） A． B． C． D． 8．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 二、填空题 9．在中，． (1)若，，则____，_____，_____； (2)若，，则AC的长为______； (3)若，，则BC的长为_______． 10．如图所示，在中，，，于点．若，则的长是 ．    11．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 12．在边长为6的菱形中，，对角线、交于点，点是对角线上的点，且，则的长为 ． 13．如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则 14．如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．） 15．“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是 米/秒． 16．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 三、解答题 17．求下列各式的值： (1) (2) 18．解直角三角形 (1)； (2)． 19．如图，在中，，，，求． 20．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 21．图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号） (2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 22．如图，已知直线与直线相交于，它们与轴分别交于，两点，直线轴，交轴于，设点是线段的中点，连接 (1)求点的坐标； (2)设是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)设点为轴上一点，，当时，求点的坐标． 23．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． (1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． (2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D D C D B B 1．解： 由题意得：． 故选：A． 2．解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 3．解：设扶梯的长度为x米， 由题意得，， 解得, 故选D． 4．解：∵， ∴， ∴用科学计算器求的长的按键顺序为： ； 故选D． 5．解：，，， ， ，， 根据轴对称的性质可知： ， ， ， ， ， 故选：． 6．解：如图，过点B作于点，连接并延长，过点O作交延长线于点， 在中， ，，， 由勾股定理可知：， 同理，在中，由勾股定理可知：， 设， 在中，由勾股定理可知：； 同理，在中，，， ， ， ， 解得，即， ， ， 故选：D． 7．解：∵水平线与视线的夹角，即是俯角， ∴从点观测点的俯角为， 故选：B． 8．解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 9．(1)，， (2) (3) 10．解： ， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．解：∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 12．解：由菱形的性质可知，，， ， ， ∴为等边三角形， ， ∴． 点在对角线上， 点的位置有两种情况：①如解图①，当点在上时， ， ， ， ； ②如解图②，当点在上时，由①可得， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 13．解：如图，作交于点M， 则， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得． ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．解：由题意可知， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．解：作于点． 在中，， ∴ （米），（米）， 同理，（米）． 则（米）． 则平均速度是（米秒）， 故答案为：． 16．解：由题意得：（海里）， 在中，海里， ∴（海里） （海里）， 在中，， ∴（海里）， （海里）， 即乙船向正东方向航行了58海里， 故答案为：58 17．解：（1） （2） 18．（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ∴，， ∴， ∴． 19．解：过点A作交于点D， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 21．（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中，， 可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点， 解：由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为． 22．（1）解：由题意可得： ，解得：， ∴点的坐标为． （2）解：∵直线轴，交轴于， ∴点的坐标为， ∵点是线段的中点， ∴点的坐标为， ∴， ∵直线与轴分别交于点， ∴， ∴ ， ∴，， 如图：过E作于I，作交延长线于H， ∵， ∴， ∴； 设，即， ∵， ∴， ∴，解得：（舍弃负值）； ∴点G的坐标为 （3）解：∵直线 轴交于A， ∴，即 如图：连接，若点P在点A的左侧， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点P的坐标为． 同理可得：若点P在点A的右侧时，点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 23． （1）解：根据题意，米，米， 如图所示，连接并延长交延长线于点， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 同理，， ∴（米）； （2）解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，米，米，， ∴在中，（米），（米）， ∴（米），（米）， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴树的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$