精品解析：湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

宜昌市协作体高一期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化.小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对.市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（ ） A. 2816元 B. 3116元 C. 3276元 D. 3600元 7. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列所给命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对 C. ，使得是奇函数 D. 偶数不能被3整除 10. 已知关于的不等式的解集中最多有1个整数，则整数的值可以是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 11. 若，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的单调递增区间是 C. 的最小值为－4 D. 方程的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数的值为__________. 13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____ 14. 已知对任意的恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数的图象经过点，且. （1）求函数的解析式； （2）用定义法证明：在上单调递减. 17. 为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. （1）求关于的函数； （2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 18. 设二次函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）若， ①，求的最小值，并指出取最小值时的值； ②求函数在区间上的最小值. 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； （3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜昌市协作体高一期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否则，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题可知：原命题的否定为“，”. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得，再由交集、并集运算可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，. 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出使函数有意义 的自变量范围． 【详解】由，解得或． 用区间表示对应D选项. 故选：D． 4. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，补全函数图象，结合图象，可得答案. 【详解】因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 由在上的图象，知它在上的图象如图所示， 则不等式的解集为. 故选：D. 5. 下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等函数的概念求解. 【详解】对A，函数的定义域为，的定义域为，A错误； 对B，函数的定义域为，的定义域为，B错误； 对C，函数与对应关系不一致，C错误； 对D，与函数定义域，对应关系完全相同，D正确； 故选:D. 6. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化.小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对.市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（ ） A. 2816元 B. 3116元 C. 3276元 D. 3600元 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立利润的函数，结合二次函数性质求最值可得. 【详解】设红灯笼每对售价提高元，一天获得利润为元. 由题意得. 因为销售单价不高于每对68元，所以， 所以当时， 即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得利润最大，最大值为3116元. 故选：B. 7. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得，后由定义可得答案. 【详解】由，得，解得， 因此或或，又因为表示不大于的最大整数， 所以，要找其成立的一个充分不必要条件，则应找其子集，只有选项A满足要求. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列所给命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对 C. ，使得是奇函数 D. 偶数不能被3整除 【答案】BC 【解析】 【分析】A通过举例可判断选项正误；B配方后可判断选项正误；C考虑，可判断选项正误；D通过举特例可判断选项正误. 【详解】对于A，成立，但不成立，A错误； 对于，B正确； 对于C，当时，是奇函数，C正确； 对于D，是偶数，能被3整除，D错误. 故选：BC. 10. 已知关于的不等式的解集中最多有1个整数，则整数的值可以是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数的图象特征，解集中最多有1个整数分为应用判别式和只有1个整数列不等式组，化简即可得出参数范围可得选项. 【详解】设，函数图象开口向上，且对称轴为， 因此关于的不等式的解集中最多有1个整数时， 需满足或解得， 又因为，结合选项有或10或11满足题意. 故选:BCD. 11. 若，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的单调递增区间是 C. 的最小值为－4 D. 方程的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的对称性和单调性求解即可. 【详解】因为，， 所以关于直线轴对称，故A正确； 当时，，所以的单调递增区间为， 又因为关于直线轴对称，所以的单调递增区间为和， 两区间中间不可用并，所以B不正确； 当时，所以的最小值为-4，故C正确； 当时，方程的解为，因为关于直线轴对称， 所以方程的解集为，所以D错误； 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由集合元素的互异性及子集的概念可求解 【详解】因为集合，且，所以由子集的概念可知，解得. 故答案为： 13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意设设，进而利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 14. 已知对任意的恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题可得，构造函数，利用函数单调性求得最值，最后解一元二次不等式即可. 【详解】由，得， 设， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 由函数单调性的性质可知在上单调递减， 所以，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）成立的一个必要条件是，则，求解即可； （2）由，则或，求解即可. 【小问1详解】 因为集合，． 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. 【小问2详解】 若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 16. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数的图象经过点，且. （1）求函数的解析式； （2）用定义法证明：在上单调递减. 【答案】（1）（） （2）证明：，，且，则 . 由，且， 得，，， 所以，， 所以， 则，即. 故在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用题中条件，列出方程组，解出即可；（2）按照函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意可知， 解得，， 故（）. 【小问2详解】 略 17. 为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. （1）求关于的函数； （2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 【答案】（1） （2）小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求 【解析】 【分析】（1）由题意，根据矩形的面积公式，建立方程，整理为函数，可得答案； （2）利用基本不等式，整理为关于的不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知，， 所以，又，所以， 所以. 【小问2详解】 法一：由，得， 解得，或（舍去），所以， 当且仅当时，取得等号. 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 法二：， 当且仅当，即时等号成立， 此时， 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 18. 设二次函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）若， ①，求的最小值，并指出取最小值时的值； ②求函数在区间上的最小值. 【答案】（1） （2）①当时，取最小值 ； ②当时，的最小值为；当时，的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，从而得到关于的方程组，解之即可得解； （2）根据题意得，①利用基本不等式“1”的妙用即可得解；②利用二次函数的性质，分类讨论即可得解． 【小问1详解】 因为的解集为， 又， 所以是方程的唯一实根，且， 所以，即，解得， 经检验，满足题意要求， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，则，故， ①因为，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． ②因为，则， 显然函数的图象的对称轴为， 当时，在区间上单调递增， 则的最小值为； 当时，在区间上单调递减， 则的最小值为； 综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为. 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； （3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. 【小问2详解】 方程即，设， 由题意知，解得. 【小问3详解】 因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $