精品解析：广东省梅县东山中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

广东梅县东山中学 2024-2025学年度第一学期高三中段考试试卷（数学科） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，由并集的定义求解即可. 【详解】由可得：，所以， 由可得：，所以， 所以. 故选：C. 2. 若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得. 【详解】由是的充分不必要条件，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 3. 若复数z满足（i为虚数单位），则z模（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可. 【详解】由， 得， 所以. 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数，对数函数、余弦函数的性质比较大小即可. 【详解】由， ， ，由于， 所以， 所以. 故选：D. 5. 若数列满足，则（ ） A. 2 B. 6 C. 12 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出. 【详解】由，得， ， . 故选：D. 6. 如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由中点和三等分点得到，结合，，得到， 由三点共线得到，利用均值不等式中“1的代换”求得的最小值. 【详解】因为为线段的中点，所以，又因为，所以， 又，，则， 而，，三点共线，所以，即， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：B． 7. 若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值． 【详解】设直线与曲线、分别相切于点、， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以，，化简可得． 故选：D. 8. 已知是定义域为R的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ） ① ② ③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得出周期，结合周期性和奇函数可得出中心对称，通过举反例可判断剩余选项. 【详解】因为最小正周期为1，所以； 即，所以2是的周期； 因为为奇函数，所以，故②正确； 因为，所以的一个对称中心为，故③正确； 通过上述推理可知：为奇函数，有一个对称中心为，周期为2， 不妨设满足这三个条件且一个周期内的函数为： 当时，，当时，， 此时有，故①不正确； 此时没有对称轴，故④不正确； 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在上的投影向量为 D. 当时，，的夹角为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，根据向量、的坐标，利用平面向量的坐标运算法则、投影向量的概念，对各选项逐一加以分析，即可得到本题的答案． 【详解】对于A，若，则，则，则不平行，故A不正确； 对于B，若，则,,,， 可得，所以，故B正确； 对于C，若，则， 向量在上的投影向量为，故C正确； 对于D，若，即, 此时，可知的夹角为，不是钝角，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图像可由的图像向左平移个单位得到 B. 图像关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换，化简函数，根据图像平移判断A；利用整体代入法可判断B和C；利用同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求的值，从而判断D选项 【详解】， 将的图象向左平移个单位所得图象对应函数为，故A错； 因，所以图像关于点对称，故B对； 令，所以， 所以的递减区间是， 令，所以是的一个递减区间， 又，所以在区间上单调递减，故C对； ， 因为，所以， 则，即， 平方得，则， 所以， 则， 所以，故D对； 故选：BCD 11. 表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 设，则 D. 所有满足的点组成的区域的面积和为 【答案】AD 【解析】 【分析】A，由题目信息计算，即可得答案； B，通过举特例可判断选项正误； C，利用结合题目信息可判断选项正误； D，由信息画出所在坐标系区域即可判断选项正误. 【详解】A选项，由题时，，， 则，故A正确； B选项，取，则， 故B错误； C选项，，则当时，， 则， 又，则，故C错误； D选项，由题要使，则，或，或， 或，或，所表示区域如下图阴影部分所示： 则区域面积为： ，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，进而根据求出，然后根据平面向量夹角公式求得答案. 【详解】由题意，设，又，设与的夹角为，所以，所以. 故答案为：. 13. 设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数判定其单调性得，分离参数根据恒成立求即可. 【详解】由， 构造函数， 在为增函数，则 即对不等式恒成立，则， 构造函数 令，得；令，得； 在上单调递增，在上单调递减， ，即. 故答案为：. 14. 已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得出当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，进一步可将原问题等价转换为一元二次方程根的分布问题，从而列出不等式组即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象以及直线如图所示， 发现当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，且有3个根， 而关于的一元二次方程最多有两个根， 若方程有六个不相等实根， 则当且仅当关于的一元二次方程有两个不同的根，且， 所以当且仅当，解得， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理和三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由以及正弦定理得，即，， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，， 又 的面积为. 16. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）若有且只有个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可求出的值，然后就的值进行检验，即可得出实数的值； （2）分析函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则， 因为函数在处取得极大值，则，解得或. 当时，， 由得或；由得. 此时，函数在上递减，在上递增， 则极小值为，不合题意； 当时，， 由得或；由得； 所以，函数在上递增，在上递减， 此时，函数极大值，合乎题意. 综上，. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 函数的增区间为、，减区间为。 所以，函数极大值，极小值， 又因为有且只有个零点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 17. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值. （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围. 【答案】（1），对称中心为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知， 化简有， ，，， 【小问3详解】 由可得， 即， 又，所以 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 18. 设函数. （1）当时，求在上的最小值； （2）若与关于轴对称，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将代入，然后求导得到，再求导得到，因为，就得到二阶导大于等于0恒成立，得到一阶导单调递增，然后判断一阶导大于等于0恒成立，然后得到原函数单调性，求得最小值； （2）先利用两个函数的互对称得到，然后代入不等式，整理得，构造函数，得到，然后利用端点效应得到，最后判断其充分性即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 令， 得， 因为，得， 所以，故在单调递增； 所以， 所以在单调递增， 故在上的最小值为. 【小问2详解】 由题得， 得当时，恒成立， 整理得恒成立， 令， 显然，， 要使时，恒成立， 则， ， 所以有， 验证，当时， 令， ， 令， ， 故在单调递增； 所以， 故在单调递增； 所以， 故在单调递增； 所以， 故符合题意. 【点睛】思路点睛：恒成立，显然，我们由函数图像可知，在时， 不可能单调递减，所以可知，然后求得，此时为恒成立的必要条件，我们还需要利用去判断恒成立，证明为恒成立的充分条件. 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与x轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：，，，…，，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r. （1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后一位）； （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； （3）若，若关于x的方程的两个根分别为，，证明：. 【答案】（1）1.8 （2），证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的二次近似值； （2）分别求出，，即可写出函数在点处的切线方程；设，，证明出，得出，即可证明； （3）先判断出，然后辅助证明两个不等式和即可． 【小问1详解】 ， 当时，，在点处的切线方程为， 与x轴的交点横坐标为，所以， ，在点处的切线方程为， 与x轴的交点为，所以方程的二次近似值为1.8. 【小问2详解】 由题可知，，，， 所以在处的切线为，即； 设，， 则，显然单调递减，令，解得， 所以当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以 所以，即. 【小问3详解】 由， 得， 当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是的最大值点，即， 又时，，时，， 所以当方程有两个根时，必满足； 曲线过点和点割线方程为 下面证明： 设，则 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增， 在上单调递减，， 所以当时，，即（当且仅当或时取等号）， 由于，所以，解得；① 下面证明当时，， 设，，因为， 所以当时，（当且仅当时取等号）， 由于所以，解得，② ①+②，得. 【点睛】关键点点睛：第三问的难点在于辅助构造出两个函数不等式，这样再利用函数单调性，得到相关不等式，然后进行估计的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东梅县东山中学 2024-2025学年度第一学期高三中段考试试卷（数学科） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3. 若复数z满足（i为虚数单位），则z模（ ） A. B. 1 C. D. 5 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，则（ ） A. 2 B. 6 C. 12 D. 20 6. 如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 7. 若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知是定义域为R的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ） ① ② ③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，，则（ ） A 当时， B. 当时， C. 当时，在上的投影向量为 D. 当时，，的夹角为钝角 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图像可由的图像向左平移个单位得到 B 图像关于点对称 C. 区间上单调递减 D. 若，，则 11. 表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 设，则 D. 所有满足的点组成的区域的面积和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________. 13. 设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________． 14. 已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）若有且只有个零点，求实数的取值范围. 17. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值. （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围. 18. 设函数. （1）当时，求在上的最小值； （2）若与关于轴对称，当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与x轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：，，，…，，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r. （1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后一位）； （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； （3）若，若关于x的方程的两个根分别为，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$