精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市延安中学2024学年第一学期期中考试 高二年级 数学试卷 （考试时间：90分钟 满分100分） 一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.） 1. 若点直线，且直线平面，则________.（填合适的符号） 【答案】 【解析】 【分析】由点线面的位置关系判断即可. 【详解】点直线，且直线平面，则， 故答案为： 2. 已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________. 【答案】或 【解析】 【分析】由等角定理求解即可. 【详解】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或 3. 棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________. 【答案】5 【解析】 【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解. 【详解】设截得的棱台的高为， 由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比， 得，解得， 所以截得的棱台的高为5. 故答案为：5 4. 如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的_____心. 【答案】外 【解析】 【分析】设侧棱与底面所成角为，则，故，从而判断即可. 【详解】三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为， 顶点在底面的射影在内， 所以， 所以，故是的外心. 故答案为：外 5. 已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出该圆柱的底面圆半径，再求出其表面积. 【详解】依题意，圆柱的底面圆周长为4，则半径， 所以该圆柱的表面积. 故答案为： 6. 如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由平面，所以棱与平面的距离即为到平面的距离，利用坐标法求解点到平面的距离即可. 【详解】 ，平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为棱与平面的距离， 如图：建立空间直角坐标系，，，设， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故，则，令，， 故，， 所以到平面的距离为：， 故答案为： 7. 在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义可得或其补角即为所求的角，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】如图所示： 不妨设，则由长方体性质可得， 易知直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角； 在中，可得， 由余弦定理可知. 故答案为： 8. 在各项均为正数的等比数列中，前项和为，满足，那么的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的极限，得到关于的代数式，进而求得的取值范围. 【详解】各项均为正数的等比数列中，设其公比为q，首项为， 则，， 则，则， 由，可得，， 则，则的取值范围是. 故答案为： 9. 在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 10. 已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】由斜二测画法的特点可知平行于轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出，然后求出原图中的长度即可求解. 【详解】由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形， 则中边长与的边长相等的边为， 在中，，， 所以，由正弦定理得：， 所以，所以原图中边上的高为：， 故答案为：. 11. 已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，求解即可. 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 12. 已知两个等比数列，满足，，，．若数列唯一，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，且，由于数列唯一，则公比q的值只能有一个，故方程必有一解为0，代入方程即可求解参数． 【详解】设等比数列的公比为，∵， ，，，∴，，． ∵，，成等比数列，∴， 整理得.∵，∴， ∴关于公比q的方程有两个不同的根，且两根之和为4，两根之积为． 又数列唯一，公比q的值只能有一个，故这两个q的值必须有一个不满足条件． ∵公比q的值不可能等于0， ∴方程必有一根为0，把代入此方程，解得． 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分） 13. 以下命题中真命题的是（ ）. A. 所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 14. 、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（ ）． A. 如果，，则一定有． B. 如果，，则一定有． C. 如果，，则一定有． D. 如果，，则一定有． 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】对于A，若，，则有或与相交或与异面，故错误； 对于B、C，如果⊥，⊥，则有或⊂，故B、C错误； 对于D，如果⊥，则垂直内的所有直线，又，则过与相交的平面交于，则，∴⊥，故D正确． 故选：D ． 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 16. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分! 17. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明：等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】略 18. 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成的角为，过点A作截面ABC、ACD，截去部分后的几何体如图． （1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)设的中点为，连结，，则平面，求出圆锥母线长度即能求出圆锥侧面积． (2)该几何体的体积，由此能求出结果． 【小问1详解】 如图，设BD的中点为，连接， 是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径， 平面． ，，与底面所成角的大小为， ∴在中，，，，， ∴圆锥侧面积为：； 【小问2详解】 该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ，， ， 该几何体的体积． 19. 如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求： （1）二面角的大小； （2）点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，易证得平面，，则即为二面角的平面角，再解即可； （2）由平面，可得线段的长度即为点到平面的距离，即可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 在正四面体中，的中点为， 则， 因为为的中点，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，则， 所以二面角的大小为； 【小问2详解】 由（1）知平面， 所以线段的长度即为点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 20. 如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. （1）在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （i）由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）不共面， 假设共面于， 由四棱柱，得平面平面， 又平面 ，平面，所以， 又，所以，又，即， 又，且，， 从而四边形为矩形，与矛盾! 所以不共面； （2）存在，证明如下： 取的中点，连接并延长交于， 因为，，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 由是的中点，平面，平面 ， 所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确； （2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知数列满足，对任意正整数、都有. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 【答案】（1） （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）直接给赋值得到一个等比数列的关系式，求出的通项； （2）通过和前项和之间的关系求解通项即可； （3）通过判断数列的单调性，确定最大值的位置，判断单调性只需要比较的大小即可. 【小问1详解】 对任意正整数、都有成立，， 所以令，得，， ∴数列（）是首项和公比都为2的等比数列. ∴（）. 【小问2详解】 由，得 ， 故， 所以， 当时，，， 于是，， 当时，； 当时， 又时，， 综上，有，. 【小问3详解】 因为，， 所以， 所以， 数列是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安中学2024学年第一学期期中考试 高二年级 数学试卷 （考试时间：90分钟 满分100分） 一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.） 1. 若点直线，且直线平面，则________.（填合适的符号） 2. 已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________. 3. 棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________. 4. 如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的_____心. 5. 已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________. 6. 如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为__________. 7. 在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为______________. 8. 在各项均为正数的等比数列中，前项和为，满足，那么的取值范围是___. 9. 在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域． 10. 已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为_______________ 11. 已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为______． 12. 已知两个等比数列，满足，，，．若数列唯一，则______. 二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分） 13. 以下命题中真命题的是（ ）. A. 所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 14. 、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（ ）． A. 如果，，则一定有． B. 如果，，则一定有． C. 如果，，则一定有． D. 如果，，则一定有． 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 16. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分! 17. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 18. 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成的角为，过点A作截面ABC、ACD，截去部分后的几何体如图． （1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积． 19. 如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求： （1）二面角的大小； （2）点到平面的距离. 20. 如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. （1）在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 21. 已知数列满足，对任意正整数、都有. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $