北京市第三十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学试卷

初三数学 第 1 页 共 6 页 班 级 姓 名 考 场 号 学 号 线 订 装 2024—2025 学年度第一学期北京市第三十五中学期中质量检测 初三数学 考生 须知 1．本试卷共 6 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。 2．考试时间 120 分钟。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 一、选择题（共 16 分，每题 2 分. 符合题意的选项只有一个） 1. 二次函数 22( 1) 3y x   的图象的顶点坐标是（ ）． A.（1，3） B.（1，-3） C.（-1，3） D.（-1，-3） 2.云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意. 其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流 动之美. 以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图 形（ ）． 朵云 双分朵云 三合云 四合云 五福云 A. B. C. D. 3.若关于 x 的方程 2 2 =0xx m  的一个根是 3，则 m 的值是（ ）． A. 3 B. -3 C. 15 D. -15 4.二次函数 y=x2+4x+a 的图象与 x 轴没有交点，则 a 的值可以是（ ）． A．-2 B．2 C．4 D．6 5.在如图所示的正方形网格中，四边形 ABCD 绕某一点旋转某一角度得 到四边形 A'B'C'D'，（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点 M，N， P，Q 中，可能是旋转中心的是（ ）． A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q 6.如图，△ABC 内接于⊙O，连结 OA，OB，∠ABO=40°，则∠C 的度 数是（ ）． A. 100° B. 80° C. 50° D. 40° 7.定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以 看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度 y (单位：m )与水平距离 x (单 位：m )近似满足函数关系 2y ax bx c   ( 0a  )．下表记录了该同学将篮球 投出后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到 最高点时，水平距离为（ ）． x (单位：m) 0 2 4 y (单位：m) 2.25 3.45 3.05 A. 3m B. 2.5m C. 2m D.1.5m B O A C 第 5 题 第 6 题 初三数学 第 2 页 共 6 页 8.如图，⊙O 的直径 AB=12cm，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 与⊙O 相切于点 E，并与 AM，BN 分别相交于 D，C 两点，设 AD=x，BC=y， 则 y 关于 x 的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共 16 分，每题 2 分） 9.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，-2）关于原点对称的点的坐标是______________. 10.写出一个开口向上，且与 y 轴交点在 x 轴下方的抛物线的表达式：______________. 11.若多项式 2x ax b  可以写成   2 x m 的形式，且 0ab  ，则 a 的值可 以是_____，b 的值可以是_____ ．（写出一组即可） 12.在 2022 年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世 界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出 “雪花”图案（正六边形 ABCDEF）的外接圆，已知正六边形 ABCDEF 的 边长是 4，则 长为______________.（结果保留 π) 13.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横 截面图，图中 7 个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系 中，点 P，Q，M 均为正六边形的顶点．若 ( 2 3,3)P  ， (0, 3)Q  ，则点 M 的 坐标为 ． 14.某商品原来每件的售价为 60 元，经过两次降价后每件的售价为 48.6 元，并 且每次降价的百分率相同．设该商品每次降价的百分率为 x，则根据关系可列 方程为 ． 15.如图，正方形 ABCD 边长为 4，E、F 分别是边 AB、BC 上的点， CE、DF 交于点 P，当 CE=DF 时，BP 的最小值为 ． 16.如图，已知⊙O的半径为4，B、C是⊙O上两定点，点A是⊙O上的动点， 且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AB的 延长线于点F，下列说法中正确的是 ． ①AD的最大值是8；②点D为 上一定点；③ ABCS 的最大值是16 3 ； ④DF与⊙O相交；⑤若△ABC为锐角三角形，则 2 3 4 3DF  . 第 8 题 第 12 题 第 13 题 第 15 题 第 16 题 初三数学 第 3 页 共 6 页 班 级 姓 名 考 场 号 学 号 线 订 装 三、解答题（共 68 分，第 17-18 题，每题 5 分，第 19 题 6 分，第 20 题 6 分，第 21 题 5 分， 第 22-24 题，每题 5 分，第 25-26 题，每题 6 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分） 17.解方程： 2 2 1 0x x   ． 18.已知 2 5 02 ＝x x  ，求代数式 23 ( 2) ( 1)x x x   的值． 19.数学课上，王老师提出如下问题： 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，射线 AC 交⊙O 于点 C. 求作： 的中点 D. 同学们分享了如下四种方案： 方案一，连接 BC，作 BC 的垂直平分线，交⊙O 于点 D. 方案二，过点 O 作 AC 的平行线，交⊙O 于点 D. 方案三，作∠BAC 的平分线，交⊙O 于点 D. 方案四，在射线 AC 上截取 AE，使 AE=AB，连接 BE，交⊙O 于点 D. 你选择的方案是 ，画出相应图形并证明. 20.已知关于 x 的一元二次方程 2 ( 1) 2 0x m x m     . （1）求证：对于任意实数m，方程都有实数根； （2）m 何值时，方程有负数根. 21.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知 大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，AE = 1 寸，CD = 10 寸，求直径 AB 的长． 请你解答这个问题. 22.已知二次函数 2 3( 0)+y ax bx a   的图象经过点 A(1，0)，B(3，0)． （1） 求该函数的解析式； （2） 当 x＞3 时，对于 x 的每一个值，函数 y x n  的值小于二次函数 2 3+y ax bx  的值， 结合函数图象，直接写出 n 的取值范围． 23.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（1，2），B（5，5）， C（5，2），将△ABC绕点A顺时针旋转90° 得到△AB′C′. （1）画出旋转后的△AB′C′； （2）直接写出点 B ′的坐标； （3）直接写出线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面 积．（结果保留π) 1 C B O A 第 23 题 第 21 题 第 19 题 初三数学 第 4 页 共 6 页 24.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC=45°，连接 OC 交 AB 于点 E，过点 A 作 OC 的平行 线交 BC 延长线于点 D． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 4，AD=6，求线段 CD 的长． 25.如图， 是直径 AB 所对的半圆弧，C 是 上一定点，D 是 上一动点，连接 DA， DB，DC. 已知 AB=5cm，设 D，A 两点间的距离为 x cm，D，B 两点间的距离为 1y cm，D，C 两点间的距离为 2y cm. 小亮根据学习函数的经验,分别对函数 1y ， 2y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 1y ， 2y 与 x 的几组对应 值：表中 m 的值大约为 .（保留两位小数） （2）在同一平面直角坐标系 xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 1( , )x y ， 2( , )x y ， 并画出函数 1y ， 2y 的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接 BC，当△BCD 是以 CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长 度约为 cm. x /cm 0 1 2 3 4 5 y1/cm 5 4.9 m 4 3 0 y2/cm 4 3.32 2.47 1.4 0 3 初三数学 第 5 页 共 6 页 班 级 姓 名 考 场 号 学 号 线 订 装 x y O–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y ax bx c   ( 0a  )的对称轴为 x t ． （1）若 3a＋2b＝0，求 t 的值； （2）已知点(-1， 1y )，(2， 2y )，(3， 3y )在该抛物线上．若 a＞c＞0，且 3a＋2b＋c＝0， 比较 1y ， 2y ， 3y 的大小，并说明理由． 27.等边△ABC 中，点 D 是边 AB 上一点，点 E 是直线 BC 上一点，连接 DE．将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 60°至 DF，连接 EF，CF. （1）如图 1，当点 D 与点 A 重合，点 E 在线段 BC 上时． ①按照要求补全图形； ②过 BC 中点 M 作 AC 的垂线交 AC 于 G，交 EF 于 H，判断 EH 与 FH 的数量关系，并 证明. （2）如图 2，当点 D 与点 A、点 B 不重合时，若 AD=BE，判断 CF 与 AD 的数量关系并说明 理由. 28.对于平面直角坐标系 xOy 内的点 P 和图形 M，给出如下定义：如果点 P 绕原点 O 顺时旋转 90°得到点 P'，点 P' 落在图形 M 上或图形 M 围成的区域内，那么称点 P 是图形 M 关于原点 O 的"伴随点". 已知点 A(1，1)，B(3，1)，C(3，2) （1）在点 P1(-2，0)，P2(-1，1)，P3(-1，2）中，点 是线段 AB 关于原点 O 的"伴随点"； （2）如果点 D(m，2）是△ABC 关于原点 O 的"伴随点"，直接写出 m 的取值范围； （3）已知抛物线 2y ax bx c   ( 0a  )的顶点坐标为（-1，n)，其关于原点对称的抛物线上 存在△ABC 关于原点 O 的"伴随点"，求 n 的最大值和最小值. 图 1 图 2 备用图 初三数学 第 6 页 共 6 页 草稿纸