北京第五实验教育集团与北京钱学森中学教育集团联合 2024-2025 学年上学期期中考试九年级数学试卷

北京第五实验教育集团与北京钱学森中学教育集团联合 2024-2025 学年度第一学期期中考试 初三 数学 试卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 2分，共 16分。 1．“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立春”、 “谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．将抛物线� = 2�2向左平移 3个单位，再向上平移 1个单位得到的抛物线表达式是（ ） A．� = 2(� − 3)2 + 1 B．� = 2(� − 3)2 − 1 C．� = 2(� + 3)2 − 1 D．� = 2(� + 3)2 + 1 3．把如图中的三角形 A（ ）可以得到三角形 B． A．先向右平移 5格，再向上平移 2格． B．先向右平移 7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90， 然后向上平移 1格． C．先以直角顶点为中心顺时针旋转90，再向右平移 5格． D．先向右平移 5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90． 4．方程 2 4 3 0x x   的两个根为（ ） A． 1 21, 3x x  B． 1 21, 3x x   C． 1 21, 3x x    D． 1 21, 3x x   5．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（ ） A．35° B．70° C．110° D．140° 6．如图，⊙O的半径为 9，AB是弦，OC⊥AB于点 C，将劣弧 AB沿弦 AB折叠交 OC于点 D，若 OD=DC，则弦 AB的长为（ ） A．5 3 B． 6 5 C．3 5 D． 4 3 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点 A顺时针方向旋 转得△ADE，AB，CE相交于点 F，若 AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 8．如图，二次函数� = ��2 + �� + �的图象如图所示，对称轴为直线� = 12，经过点�(2,0). 以下结论：①− �2� > 0；②� 2 − 4�� = 0；③��� < 0；④� + � + � < 0； ⑤若( − 12 , �1)，( 5 2 ,�2)抛物线上两点，则�1 > �2．其中结论正确的是（ ） A.①②③ B.①③⑤ C.②③④ D.①④⑤ 二、填空题：本题共 8小题，每小题 2分，共 16分。 9．关于 x的方程 �− 2 ��2−2 − 3� + 1 = 0 是一元二次方程，则m  ． 10．抛物线 23( 2) 1y x   的顶点坐标是 ． 11．若 m是方程 22 3 1 0x x   的一个实数根，则 22023 6 9m m  的值为 ． 12．若关于 x的一元二次方程 2 2 1 0kx x   有实数根，则 k的取值范围是 ． 13．如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为� = ��2 + ��．小辉骑 自行车从拱梁一端 O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小辉骑自行车行驶 7秒时 和 13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC共需 秒． 14．如图，在⊙O中，弦 AB⊥弦 CD于 E，OF⊥AB于 F，OG⊥CD于 G，若 AE＝8 cm， EB＝4 cm，则 OG= cm. 第 14题图 第 15题图 第 16题图 15．已知函数 2 4y x  的大致图象如图所示，那么：方程 2 4x m  (m为实数)．若该方程恰有 2个不相等 的实数根，则m的取值范围是 ． 16．如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ，把△ ���绕 AC边的中点旋转后得△ ���，若直角顶点 F恰好落 在 AB边上，且 DE边交 AB边于点 G，若 AC=12，BC=5，则 AG的长为 ． 三、解答题：本题共 12小题，共 68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程：    22 2 2 3 0x x     ； 18. 已知关于�的一元二次方程�2 + (2� + 1)� +�2 − 1 = 0有两个不相等的实数根． (1)求�的取值范围． (2)设�1，�2是方程的两个根且� 12 + � 22 + �1�2 − 6 = 0，求�的值． 19．如图，点 O是等边三角形 ABC内的一点， 150BOC  ，将△ ���绕点 C按 顺时针旋转得到 ADC△ ，连接OD OA， ． (1)求 ODC 的度数； (2)若 3 2OB OC ， ，求 AO的长． 20．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地 一边减少了 4m，另一边减少了 5m，剩余部分面积为 650m2，求原正方形空地的边长． 21．已知二次函数� = �2 + 2�� − �（b、c为常数）． (1)当 1b  ， 2c  时，求函数的最小值； (2)当4 0b c  时，函数的最小值为 12 ，求二次函数的解析式． 22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在 平面直角坐标系中，△ ���的三个顶点分别是 (5,2)A ， (5,5)B ， (1,1)C ． (1)△ ���向左平移 3个单位得到的 1 1 1ABC△ ，则点 A，B，C的对应点 A1, B1, C1的坐标分别为 A1( )，B1( )，C1( )． (2)画出△ ���绕点 C顺时针旋转90后得到的 2 2A B C ． (3)请计算四边形 ACA2B2的面积． 23．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为 100元，若按每盒 150元销售，则同时 段每小时可售出 40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低 1元，同时段 每小时的销量就增加 2盒．设该礼盒售价为每盒 x元(� ≥100)，每小时的销售利润为 w元． (1)求 w关于 x的函数关系式，并直接写出 x的取值范围； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到 2400元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 24．如图，圆内接四边形 ABDC， AB是 O 的直径，OD BC 交 BC于点 E． (1)求证：点 D为BC的中点； (2)若 4 6BE AC ， ，求DE． 25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 16m，宽为 6m，抛物线的最高点 C离地面 AA1的距离为 8m. (1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. (2)一大型汽车装载某大型设备后，高为 7m，宽为 4m，如果该隧道内设双 向行车道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否安全通过这个隧道？说明理由. 26．已知抛物线� = ��2 + ��(� ≠ 0)经过点�(4,4)． (1)用含�的代数式表示�； (2)当抛物线与�轴交于点�(2,0)时，求此时�的值； (3)设抛物线与�轴两交点之间的距离为�.当� < 2时，求�的取值范围． 27．已知 Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为 AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕 D点旋转，它的 两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F． (1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________； (2)如图 2，当∠EDF绕 D点旋转到 DE和 AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图 3，这种情况下，请直接写出 S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系． 28．定义：函数图象�上的点�(�, �)的纵坐标�与横坐标�的差� − �叫做点�的“双减差”，图象�上所有点的“双 减差”中最小值称为函数图象�的“幸福值”如：抛物线� = �2上有点� 4，16 ，则点�的“双减差”为 12；而抛 物线� = �2上所有点的“双减差”� − � = �2 − � = (� − 1 2 )2 − 1 4 ≥− 1 4 ，即该抛物线的“幸福值”为 − 1 4 ．根据 定义，解答下列问题： (1)已知函数� = 4 � 图象上点�的横坐标� = 1，求点�的“双减差”� − �的值； (2)若直线� = �� + 11( − 1 ≤ � ≤ 2)的“幸福值”为�2(�＞1），求�的值； (3)设抛物线� = �2 + �� + �顶点的横坐标为�，且该抛物线的顶点在直线� =− � + 9上，当 2� − 1 ≤ � ≤ 1 2 �+ 3时，抛物线� = �2 + �� + �的“幸福值”是 5，求该抛物线的解析式．