精品解析：广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷

广州市玉岩中学2024学年第一学期期中测试 高一数学 命题人：邓四元 审校人：毛小琴 说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，共 11 题共 58 分，第Ⅱ卷为非选择题，共 92 分，全卷共 150 分．考试时间为 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题) 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必用2B铅笔将姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的试卷类型、考试证号和考试科目． 2.每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．（答案写在试题卷上无效） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求集合的交集运算. 【详解】因为，， 所以，，，，所以. 故选：B 2. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可. 【详解】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件必要条件的定义即得． 【详解】因为，故当时，有，故成立； 取，此时，但，即由“”推不出“”； 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：B． 4. 一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（ ） A. 大于10g B. 大于等于10g C. 小于10g D. 小于等于10g 【答案】A 【解析】 【分析】 设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】解：由于天平两臂不等长， 可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即， 因此，顾客购得的黄金大于. 故选：A. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值从而解决实际问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根式计算法则可知当时，选项ABC均不成立，即可得出结论. 【详解】对于A，当时，不成立；即A错误； 对于B，由可知，因此，即B错误； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，显然，所以，即D正确. 故选：D 6. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 7. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可. 【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增， 则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解. 【详解】因为定义域为的函数满足， 所以函数的图象关于对称，所以， 又因为当时，， 所以函数在单调递增，则在单调递减， 因为， 所以， 所以，即， 故选:C, 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数与是同一函数 C. 函数的单调递增区间是 D. 已知的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，求出函数的定义域即可判断B、C，根据抽象函数的定义计算规则判断D. 【详解】对于A：由，即，解得或， 所以由推得出，故充分性成立， 由推不出，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，即A正确； 对于B：因为函数，所以，解得， 所以函数的定义域为 因为，则，解得或， 故的定义域为， 函数和函数的定义域不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C：由，解得或， 即函数的定义域为，故C错误； 对于D：因为函数的定义域为，所以， 得，故函数的定义域为，故D正确； 故选：AD 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数、基本不等式等知识求得正确答案. 【详解】依题意，，，且， A选项，，则，当时等号成立，所以A选项错误. B选项，，， 当时等号成立，所以B选项正确. C选项，， ， 当且仅当，时等号成立，所以C选项正确. D选项，由于，所以，则，当时等号成立， 因为，所以由基本不等式得， 所以D选项正确. 故选：BCD 11. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是上的奇函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合对“向上取整函数”定义的理解，可得AD；B项整体换元求解方程；C项取特值即可. 【详解】由表示不小于的最小整数， 则有且，即， A项，， 则， 即， 则，故A正确； B项，令，则，解得，又为整数， 则，或， 当时，即，则； 当时，即，则， 故，则，故B正确； C项，，则，， 则不是上的奇函数，故C错误； D项， ， 若，则， 即，则， 又，由不等式的性质，， 则，故D正确. 故选：ABD. 第II卷(非选择题) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图像经过，则解析式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合幂函数的定义分析求解. 【详解】设幂函数解析式为， 代入可得，解得， 所以幂函数解析式为. 故答案为：. 13. 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】， 设， ，该二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，， 要想关于的不等式在区间内有解， 只需， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 14. 已知实数，满足，若，则的最小值是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， ，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时等号成立，此时． 故答案为：16． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若集合，集合. （1）若，求； （2）当时，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因此； 【小问2详解】 因为，所以， 因此有， 所以实数m的取值范围为. 16. （1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）若是的必要不充分条件，转化为B是A的真子集．然后用集合的知识来解题即可； （2）“”为假命题转化为命题的否定为真命题，即“”为真命题，运用关于的一次函数来解题即可. 【详解】解：（1）由是的必要不充分条件，得B是A的真子集， 或 则当时，，解得， 当时，，或，解得或， 综上所述，． （2）由题意知“”为真命题． 令， 则，即，解得 所以x的取值范围为． 17. 已知定义在上的奇函数，且 （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）解不等式 【答案】（1） （2） 在定义域内单调递增，证明如下： 对任意，且， 则， 因为，且，则， 可得，即， 所以在定义域内单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义和性质分析求解； （2）根据单调性的定义分析证明； （3）根据函数的单调性和奇偶性分析求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，且， 则，解得，则， 且，即， 则为奇函数，可知符合题意，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，且是定义在上的奇函数， 则， 又因为在定义域内单调递增， 则，解得， 所以不等式的解集为. 18. 某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且.现有两种购买方案（） 方案一：流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个. 方案二：流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个. （1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由. （2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注；差值较大值较小值）. 【答案】（1）方案二，理由如下： 方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元）， 则， 因为，，所以，即， 所以采用方案二，花费更少. （2）32 【解析】 【分析】（1）列出函数式子，作差比较即可；（2）利用换元法，结合基本不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 令，，， 因为，所以， 所以差值S的最小值为， 当且仅当，，，， 即，时，等号成立. 所以两种方案花费的差值S的最小值为32元. 19. 若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” （1）已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； （2）判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； （3）若，，，证明：不等式是“不等式”. 【答案】（1） （2）不是“不等式”. 理由如下： （方法一）二次函数图象的对称轴为直线， 当时，二次函数取得最小值，且最小值为， 所以不是“不等式”. （方法二）由，得， 解得. 因为，所以对不恒成立， 所以不是“不等式”. （3）证明：由题意得， ①当时，，则，符合题意. ②当时，，研究二次函数的图象， 该二次函数图象的对称轴为直线， 则当时，二次函数取得最小值，且最小值为，符合题意. ③当时，，由二次函数的图象可知， 当或时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，. 故是“不等式”. 【解析】 【分析】（1）根据题意判断在上恒成立即可； （2）当时即可判断； （3）判断最小值，最大值都大于0即可. 【小问1详解】 由及，得. 因为，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市玉岩中学2024学年第一学期期中测试 高一数学 命题人：邓四元 审校人：毛小琴 说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，共 11 题共 58 分，第Ⅱ卷为非选择题，共 92 分，全卷共 150 分．考试时间为 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题) 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必用2B铅笔将姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的试卷类型、考试证号和考试科目． 2.每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．（答案写在试题卷上无效） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（ ） A. 大于10g B. 大于等于10g C. 小于10g D. 小于等于10g 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数与是同一函数 C. 函数的单调递增区间是 D. 已知的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是上的奇函数 D. 若，则 第II卷(非选择题) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图像经过，则解析式为___________ 13. 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围______. 14. 已知实数，满足，若，则的最小值是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若集合，集合. （1）若，求； （2）当时，求实数m的取值范围. 16. （1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 17. 已知定义在上的奇函数，且 （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）解不等式 18. 某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且.现有两种购买方案（） 方案一：流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个. 方案二：流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个. （1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由. （2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注；差值较大值较小值）. 19. 若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” （1）已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； （2）判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； （3）若，，，证明：不等式是“不等式”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $