精品解析：天津市部分区2024-2025学年高二上学期期中练习数学试题

天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习 高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，练习用时100分钟. 使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上；不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上. 第I卷（共36分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分． 1. 已知直线过、两点，则直线的倾斜角的大小为 A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线垂直，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 5. 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知直线，，，且与间的距离为3，则（ ） A. 26 B. 46 C. 或46 D. 或26 7. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔作答. 2．本卷共11小题，共84分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知，，若，则实数的值为________． 11. 若直线与圆相切，则实数________． 12. 如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为________． 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 14. 已知，，，则的面积为________． 15. 给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则实数的取值范围是； （2）若点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有3个点到直线的距离为1． 其中正确的命题有________．（把所有正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 17. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 18. 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 19. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，圆． （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆的位置关系并说明理由；若相交，求两圆公共弦的长． 20. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习 高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，练习用时100分钟. 使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上；不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上. 第I卷（共36分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分． 1. 已知直线过、两点，则直线的倾斜角的大小为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为，所以直线的倾斜角为，选C. 【点睛】本题考查斜率与倾斜角，考查基本求解能力，属基础题. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 3. 如图，在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：B 4. 若直线与直线垂直，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线垂直得到，求解即可. 【详解】由两条直线垂直可得：， 即， 解得：或. 故选：D 5. 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则直线与所成角的余弦值为 ， 故选：D 6. 已知直线，，，且与间的距离为3，则（ ） A. 26 B. 46 C. 或46 D. 或26 【答案】C 【解析】 【分析】由直线平行确定，再由平行线间距离公式即可求解. 【详解】由，可得：，解得：， 则直线， 又，解得：或， 所以或46， 故选：C 7. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 8. 已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的一般方程可得出圆心，半径为2，利用弦长公式可得圆心到直线的距离，可得结果. 【详解】由， 即圆心，半径为2， 要使，则圆心到直线的距离， 设直线方程为： 所以，解得. 故选：A 9. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据相似三角形以及勾股定理，建立所求圆的半径与的等量关系，利用数形结合，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由圆，则圆心，半径， 因为与圆分别相切于，所以，， 设，，，易知， 易知，则，可得，即， 在中，，则，即， 由图可知，则， 整理可得， 由图易知当垂直于直线时，取得最小值，则， 由函数在上单调递增，则的最小值为， 以为直径的圆的面积，所以面积的最小值为. 故选：C. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔作答. 2．本卷共11小题，共84分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知，，若，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 11. 若直线与圆相切，则实数________． 【答案】0或 【解析】 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 12. 如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，结合中位线即可求解. 【详解】 连接，由为 的中点，可得为 的中点, 又是线段的中点， 所以， 故答案为： 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 14. 已知，，，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】分别求得，点到的距离，即可求解. 【详解】由条件可得：， 直线方程为：，即， 点到的距离为：， 又， 所以的面积为， 故答案为：3 15. 给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则实数的取值范围是； （2）若点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有3个点到直线的距离为1． 其中正确的命题有________．（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】对于（1）：根据直线斜率公式以及图象分析判断；对于（2）根据中点和垂直关系分析判断；对于（3）根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断. 【详解】（1）直线过定点，则，， 由图象可知：直线与线段AB相交，则，故（1）不正确； （2）假设点关于直线的对称点为， 则的中点坐标为， 此时，即中点在直线上， 又因为，直线的斜率是2，相乘等于， 可知与直线垂直， 所以假设成立，故（2）正确； （3）圆的圆心为，半径， 圆心C到直线l的距离为， 与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切， 因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确； 故答案为：（2）（3）． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 ，， ，， ； 【小问2详解】 因为，所以设， 即，故，解得. 17. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 18. 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接， AI    在中，因为，分别为，的中点， 所以,又平面，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，得到关键点坐标，求出面的法向量，结合点面距离公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系． 则，，，， ，，， ，． 设平面的法向量为， ，即 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设点到平面的距离． ， 所以点到平面的距离为． 19. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，圆． （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆的位置关系并说明理由；若相交，求两圆公共弦的长． 【答案】（1） （2）相交， 【解析】 【分析】（1）运用圆心在弦的中垂线上，再求交点可得圆心，进而得到方程； （2）运用圆心距和半径关系，判定位置关系，结合弦长公式计算即可. 【小问1详解】 ，中点坐标 直线的斜率为， 直线的垂直平分线的斜率为， 直线的垂直平分线的方程， 即，联立方程， 解方程组得，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 由（1）圆圆心，半径， 圆圆心，半径， ， ∵， 所以圆和圆相交， 设交点为，，直线方程为 即：. ，运用点到直线距离公式计算得到到直线的距离， 所以． 两圆公共弦的长． 20. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为是正方形，，是，的中点， 所以， 因为平面， ，平面， 所以，， 所以如图以为原点，，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，， ， ∴ ∴ （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建系，通过向量垂直即可得证； （2）求得平面法向量，由面面夹角的公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面与平面夹角， 设平面的一个法向量为， ，， 则，即，令，得，， ∴， 设平面的一个法向量为， ，， 则，即，令，得，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴平面与平面夹角. 【小问3详解】 由题可知， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍）， ∴， 即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $