广东省中山市第一中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级中段抽查调研数学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1,下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是( A. B D 2.若x=3是一元二次方程x2-2x+m=0的一个根，则m的值是( A.-3 B.-15 C.3 D.15 3.二次函数y=-5(x+2)2-6的对称轴为( A.直线x=6 B.直线x=2 C.直线x=-2D.直线x=-6 4.用配方法解方程x2-6x+5=0,配方后所得的方程是() A.(x+3)2=4B.(x-3)2=-4C.(x+3)2=4 D.(x-3)2=4 5.已知o0的半径为6cm,点M到圆心0的距离为5cm,则该点M与⊙0的位 置关系为( A.点M在圆外B.点M在圆上C.点M在圆内D.无法判断 6.如图，AB为⊙0的直径，点C是⊙0上的一点，∠ABC=70°，则∠B4C=() A.20° B.30° C.40° D.50° 7.据国家统计局发布的《2023年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年 和2023年全国居民人均可支配收入分别为32万元和3.7万元.设2021年至2023 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为( ) A.3.21-x)2=3.7 B.3.21+x)2=3.7 C.3.71-x)2=3.2 D.3.71+x)2=3.2 8.若抛物线的解析式是：y=2(x-1),点A(2,),B(-3,y2),C(4,3)都在 该抛物线上，则y,2,y,的大小关系是( ) A.y3<y<3B.片<为<y2 C.y<y2<3 D.3<y2< 9.如图，矩形OABC的顶点A,C在坐标轴上，顶点B的坐标是(4,2)，若直 线y=mx-1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为() A.1 B.0.5 C.0.75 D.2 10.简易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），A为 三角板与直尺的交点，B为量角器与直尺的接触点，C为量角器与三角板的 接触点.若点A处刻度为4，点B处刻度为6，则该量角器的直径长为() 九年级中段抽查调研数学科试题 第1页共4页 A.2 B.25 C.4 D.45 60 第6题图 第9题图 第10题图 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.点M(-1,3)关于原点对称的点的坐标为 12.关于x的一元二次方程x2-x+m=0没有实数根，则m的取值范围是 13.如图，BC切⊙0于C,AB过圆心0点，AC是弦，∠B=40°，则∠A= 14.已知a为一元二次方程x2+3x-10=0的根，那么2a2+6a+4的值是 15.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,且过点(L,0),顶点位于第二 象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab>0且c<0;②4a-2b+c>0; ③8a+c>0;④c=3a-3b;⑤直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c两个交 点的横坐标分别为x、x2,则x+x+:·x=-5,其中正确有-· -1 第13题图 第15题图 三.解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16.用合适的方法解一元二次方程：x2-8x=0. 17.如图，在6×9的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正 方形顶点称为格点，△4BC的顶点均在 格点上.将△4BC绕点C逆时针旋转90° 得到△C∥B, (1)在图中画出△CAB; (2)求△CA4的面积. 九年级中段抽查调研数学科试题 第2页共4页 18.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框 架.《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一 寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个 圆柱截面示意图（如图②），其中B0⊥CD 于点A(B,A,O三点共线)，求间径就是 要求⊙0的直径 再次阅读后，发现AB=1寸，CD=10 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题.请帮助小智求出 ⊙0的直径. 四.解答题（二)（共3小题，每小题9分，共27分) 19.如图，抛物线y=x2+bx-3经过点A(-2,-3),与坐标 轴分别交于B,C,D三点 (1)求B,C,D三点的坐标； B (2)当-2<x≤2时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物 线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式： 20.如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分 线与⊙0交于点D,∠C=90°. (1)CD与⊙0有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若∠CDB=60°，AB=4,求BD的长. 21.学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围 建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm·如图，如果矩形苗圃园的 一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆 墙 B ACDF围成. (1)AC=m;(用含x的代数式表示) (2)当苗圃园的面积为60m2时，求x的值. 五.解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 九年级中段抽查调研数学科试题 第3页共4页 22.综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作 实践并探索发现.在矩形纸片ABCD中，AD=2. 【数学思考】如图1，圆圆将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形 EFGD,使得点E落在BC边上，点A作AH⊥DE.求证：△ADH≌△DEC; 【解决问题】如图2，连结AG,求线段AG的长， 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形EFGD绕着点D逆时针转动一周， 若直线ED恰好经过线段AG中点O时，连结AE,AG,直接写出△AEG的 面积是 B H D 图1 图2 备用图 23.【问题背景】 已知抛物线y=a(x-1)2+k(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P,对称轴与x 轴相交于点D,点M(m,)在抛物线上，m>1,O为坐标原点. 【构建联系】 (1)如图1，当a=1,与y轴交于点(0,1)时，求该抛物线顶点P的坐标， (2)如图2，当OM=OP=时，求a的值： 2 【深入探究】 (3)如图3，若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN=90°，DM=DN, 点E在线段MN上，点F在线段DN上，NE+NF=√2DM,当DE+MF取得最 小值为5时，求a的值， 图1 图2 图3 九年级中段抽查调研数学科试题 第4页共4页 (参考答案) 一，选择题 1~5 BACDC 6-10 ABBAD 二.填空题 11.(L,-3) 12.m> 13.25 14.24 4 15.②④⑤ (答对一个给1分，错的0分) 三.解答题（一) 16.解：x(x-8)=0, 5分 米=0或x-8=0, x=0x2=8. .7分 17.解：(1)如图，△(CA即为所求， 1分 .5分 (2)S:w=2×6×3=9 .△(AA的面积9. 7分 18. 解：连接O, 4.1分 OB⊥(D垂足为A, :.CA=CD=5, 3分 设(0=x,则A0=x-1, 在RL△AOC中，∠CAO=90°， ∴OA+C=OC2, 5分 (x-1Y+52=x2, 解得x=13, ⊙0的直径为26寸. …7分 四.解答题（二) 19.解：（1)将点A(-2,3)的坐标代入抛物线表达式 得：-3=4-2b-3,即：b=2, 则抛物线的表达式为：y=x2+2x-3, …2分 则点D0,-3), 3分 令y=0,则x=-3,x2=1, 即B(-3,0C10)、D(0,-3) …5分 (2)y的取值范围：-4≤y≤5， .7分 (3)平移后的抛物线解析式：y=x2-5. 9分 20.解：(1)(D与⊙0相切，理由如下： 连接OD,则OD)=OB, .1分 C ∴∠ODB=∠ABlD, D :BD平分∠ABC, ∠ABD=∠(BD, ∠O1DB=∠(B), :.OD//BC .3分 :∠=90°， ∴∠(0D=180°-∠=90°， OD是o0的半径，且(D⊥OD,（或半径OD⊥CD)5分 .(D与⊙0相切. (2):AB是O0的直径，且AB=4, ∴.∠ADB=90°， .6分 :∠(=90°，∠(DB=60 ∴.∠ABD=∠(BD=90°-∠(DB=30°， .7分 又在Rt△ABD中，∠ABD=30° :.AD=14B-2 .BD=√AB2-AD2=V42-22=2N5 9分 21.解：(1)AC=(17-x)米 3分 (2)由题意得：(17-x)x=60, 5分 解得：x=5,x2=12, .7分 当x=5时，x<8,不合题意，舍去， 8分 .x=12, 答：x的值为12. ……9分 五.解答题（三) 22.解： 【数学思考】证明：：将矩形AB(D绕着点D逆时针旋转得到矩形GD, AD=DE,∠(：=∠AJD:=90°， …2分 ·∠(1DB+∠AJDH=90°， ,AH⊥DE, .∠AH)=90°， .∠HDA+∠DAH=90°， ∴∠DAH=∠CDE, 3分 :△ADH=△DEC(AAS); .4分 【解决问题】解：：△ADH=△DEC, .AH=(D=3 :矩形AB(D绕着点D逆时针旋转得到矩形EF(GD, ∴(D=DG=5,∠GD0=∠AH0=90°① .DG=AH② 又，∠GOD=∠AOH③ ∴由①②③得：△GOD≌△AOH(AAS) 6分 ∴.OH=OD,GO=AO 在Rt△AHD中，DH=√AD2-AH2=1, 8分 在R△AH0中，A0=√AH'+OH- 2 .9分 .AG=2A0=13 .10分 【拓展研究】解：如图1、图2两种情况求得： △4的面积是35或5.（答对一个答案给2分） .13分 2 2 F B B G 图1 图2 23.解： (1)把(0，-1)代入y=(x-1)2+k中得： 1+k=-1即：k=-2 】分 y=(x-1)2-2, .2分 .P(1,-2) .3分 (2).由题意：P(L,k),M(m,) oP 得：=4含封即P0 5分 0M2=m2+1P=(3: 2 3 解得m=2m= 舍劫 w2》 7分 把M)代入y=a-lP-中得a=10 8分 (3)过点M作∠EMS-45°且MS-MN (或过点M作MS∥ND且MS-MN) 9分 ,'∠MDN-90°，DM=DN .MN=√2DM NE+NF=V2DM .NF=ME ,.△FMN△EMS(SAS) ∴.MF=ES .11分 ∴DE+MF=DE+ES,即DE+ES的最小值为V15 当D、E、S三点共线时，DE+ES最小，即DS=√5 :在R△DMS中，有勾股定理可求得：DM=V5, ∴.M3,1),N2,-2) 13分 ∴把M3,1),N2,-2)代入y=x-l)2+k中 ∴.a=l,k=-3 答：a的值为1 …14分 九年级中段抽查调研数学科试题 一. 选择题 (共10小题, 每题3分, 共30分) 1. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是( ) 2. 若x=3是一元二次方程 的一个根，则m的值是( ) A. - 3 B. - 15 C. 3 D. 15 3. 二次函数 的对称轴为( ) A. 直线x=6 B. 直线x=2 C. 直线x=-2 D. 直线x=-6 4. 用配方法解方程 配方后所得的方程是( ) 5. 已知⊙O的半径为6cm，点M到圆心O的距离为5cm，则该点M与⊙O的位置关系为( ) A. 点M在圆外 B. 点M在圆上 C. 点M在圆内 D. 无法判断 6. 如图, AB为⊙O的直径, 点C是⊙O上的一点, ∠ABC=70°, 则∠BAC=( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 7. 据国家统计局发布的《2023年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( ) 8. 若抛物线的解析式是: y=2(x-1)², 点A(2,y₁), B(-3,y₂), C(4,y₃)都在该抛物线上, 则y₁, y₂, y₃的大小关系是( ) 9. 如图, 矩形OABC的顶点A, C在坐标轴上, 顶点B的坐标是(4,2), 若直线y= mx-1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为( ) A. 1 B. 0.5 C. 0.75 D. 2 10. 简易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放(无重叠部分)，A为三角板与直尺的交点，B为量角器与直尺的接触点，C为量角器与三角板的接触点. 若点A 处刻度为4，点B 处刻度为6，则该量角器的直径长为( ) A. 2 B. 2 C. 4 二. 填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11. 点M(-1，3)关于原点对称的点的坐标为 . 12. 关于x的一元二次方程. 没有实数根，则m的取值范围是 . 13. 如图, BC切⊙O于C, AB过圆心O点, AC 是弦, ∠B=40°,则. 14. 已知a为一元二次方程. 的根，那么 的值是 15. 抛物线 的对称轴是直线x=-1，且过点(1，0)，顶点位于第二象限,其部分图象如图所示,给出以下判断:①ab>0且c<0;②4a-2b+c>0;③8a+c>0; ④c=3a-3b; ⑤直线y=2x+2与抛物线 两个交点的横坐标分别为x₁、 x₂，则. 其中正确有 . 三. 解答题(一)(共3小题, 每小题7分, 共21 分) 16. 用合适的方法解一元二次方程： 17. 如图，在6×9的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上. 将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△CA'B' . (1) 在图中画出△CA'B'; (2) 求△CAA'的面积. 18. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何? ”(如图①) 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A (B，A，O三点共线)，求间径就是要求⊙O的直径. 再次阅读后, 发现AB=1寸, CD=10寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题. 请帮助小智求出⊙O 的直径. 四. 解答题(二) (共3小题, 每小题9分, 共27分) 19. 如图, 抛物线. 经过点A(-2,-3), 与坐标轴分别交于B, C, D三点.(1) 求B, C, D三点的坐标; (2) 当-2<x≤2时, 则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式. 20. 如图, AB为⊙O的直径, 点C在⊙O外, ∠ABC的平分线与⊙O交于点D, ∠C=90°. (1) CD与⊙O有怎样的位置关系? 请说明理由； (2) 若∠CDB=60°, AB=4, 求 BD的长. 21. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为 xm.如图，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成. (1) AC= m; (用含x的代数式表示) (2) 当苗圃园的面积为60m²时，求x的值. 五. 解答题(三) (共2小题, 第22题13分, 第23题14分, 共27分) 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现. 在矩形纸片ABCD中，AD=2. 【数学思考】 如图1，圆圆将矩形ABCD绕着点 D 逆时针旋转得到矩形EFGD,使得点E落在 BC边上,点A 作AH⊥DE.求证: 【解决问题】如图2，连结AG，求线段AG的长. 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形EFGD绕着点 D 逆时针转动一周，若直线ED恰好经过线段AG中点O时，连结AE，AG，直接写出△AEG的面积是 23. 【问题背景】 已知抛物线 (a, b, c为常数, a>0)的顶点为P, 对称轴与x轴相交于点D, 点M(m,1)在抛物线上, m>1, O为坐标原点. 【构建联系】 (1)如图1,当a=1, 与y轴交于点(0,-1)时, 求该抛物线顶点P的坐标; (2)如图2, 当 时，求a的值； 【深入探究】 (3)如图3,若N是抛物线上的点,且点N在第四象限,∠MDN=90°, DM=DN,点 E在线段 MN 上, 点 F 在线段DN上, 当DE+MF取得最小值为 时，求a的值. (参考答案) 一. 选择题 1~5 BACDC 6~10ABBAD 二. 填空题 11. (1,-3) 13. 25° 14. 24 15. ②④⑤ (答对一个给1分, 错的0分) 三. 解答题 (一) 16.解:x（x-8）=0,分 ………………………………………………………… 5 x=0或x-8=0, ……………7分 17.解:（1）如图,△CAB'即为所求 ……………………………………… 1分 ……………5分 ∴△CAA'的面积 ……………………………………………… 7分 18. 解: 连接OC,……………1分 ∵OB⊥CD垂足为A, .3分 设CO=x, 则AO=x-1, 在 Rt△AOC中, ∠CAO=90°, ………… 5分 解得x=13, ∴⊙O的直径为26寸.………7分 四. 解答题 (二) 19. 解: (1) 将点A(-2,-3)的坐标代入抛物线表达式 得: - 3=4-2b-3, 即: b=2, 则抛物线的表达式为： …………2分 则点D（0,-3）, ………………………………………… 3分 令y=0, 则x₁=-3, x₂=1, 即B（-3,0）、C（1,0）、D（0,-3） ……………………………… 5分 （2）y的取值范围:-4≤y≤5, ………………………………………… 7 （3）平移后的抛物线解析式： ………………………………………… 9 20. 解: (1) CD与⊙O相切, 理由如下: 连接OD, 则OD=OB,…………1分 ∴∠ODB=∠ABD, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ODB=∠CBD, ∴OD∥BC, ………………………………………………………… 3分 ∵∠C=90°, ∴∠ODC=180°-∠C=90°, ………………………………………………………………… 5分 ∴CD与⊙O相切. (2) ∵AB是⊙O的直径, 且AB=4, ∴∠ADB=90°, ……………6分 ∵∠C=90°, ∠CDB=60° ∴∠ABD=∠CBD=90°-∠CDB=30°, ……………………………… 7分 又∵在Rt△ABD中, ∠ABD=30° ………… 9分 21. 解: (1)∴AC=(17-x)米 …………3分 （2）由题意得:（17-x）x=60,分 ……………………………………… 5 解得： …………………………………………………………… 7 当x=5时,x<8,不合题意,舍去, ……………………………… 8分 ∴x=12, 答:x的值为12 ………………………………………………………… 9 五. 解答题(三) 22. 解: 【数学思考】证明：∵将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD， ∴AD=DE, ∠C=∠ADC=90°, …………2分 ∴∠CDE+∠ADH =90°, ∵AH.⊥DE, ∴∠AHI)=90°, ∴∠HDA+∠DAH=90°, ∴∠DAH=∠CDE, …………3分 ∴△ADH≌△DEC(AAS); ……………4分 【解决问题】解: ∵△ADH≌△DEC, ∵矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD， ∴DG=AH② 又∵∠GOD=∠AOH③ ∴由①②③得: △GOD≌△AOH (AAS) …………6分 ∴OH=OD, GO=AO 在Rt△AHD中, …8分 在 Rt△AHO中, …9分 …………10分 【拓展研究】解：如图1、图2两种情况求得： △AEG的面积是 或 (答对一个答案给2分) …13分 23. 解: (1) 把(0,-1)代入. 中得： 1+k=-1 即: k=-2 …………1分 …………2分 ∴P(1,-2) …………3分 (2) ∴由题意: P(1,k),M(m,1) 解得： 舍去) 即 …5分 解得 (舍去) ……7分 把 代入 中得a=10 …8分 (3) 过点 M作∠EMS=45°且MS=MN (或过点 M作 MS∥ND 且MS=MN) …………9分 ∵∠MDN=90° , DM=DN ∴NF=ME ∴△FMN△EMS(SAS) ∴MF=ES …………11分 ∴DE+MF=DE+ES, 即 DE+ES的最小值为 当D、E、S三点共线时,DE+ES最小, 即 ∵在 Rt△DMS中, 有勾股定理可求得: ∴M(3, 1), N(2, - 2) …………13分 ∴把M(3, 1), N(2, - 2)代入. 中 ∴a=1,k=-3 答：a的值为1 …………14分 学科网（北京）股份有限公司 $$