精品解析：江西省南昌市南昌大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

南昌大学附属学校2024-2025学年度高一上学期期中考试数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题，；命题，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 当时， 11. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题的否定是______． 13. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为________． 14. 已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是______. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）计算： （2）解不等式： 16. 设全集为，集合，． （1）当时，求和 （2）在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）判断函数单调性并用定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值； （3）若满足，则称为函数的不动点． 若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值． 19. 若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记 ，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定. （1）若，函数的定义域为，求和； （2）若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”； （3）设，若函数的定义域为，且表达式为： 判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌大学附属学校2024-2025学年度高一上学期期中考试数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集与交集的定义可求解. 【详解】因为全集，，所以， 又因为，. 故选：D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 3. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数； 【详解】由题意知，即， 则该函数为，此时函数定义域为全体实数集， 该函数在定义域内有增有减，不是单调函数； 函数满足，为偶函数. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由配凑法和即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 6. 已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，根据p是q的充分不必要条件得到，求出a的取值范围. 【详解】令，， 因为p是q的充分不必要条件， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知命题，；命题，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由命题，为假命题，则转化为方程无解问题， 命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题，为假命题， 在上无解， 当，，则或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在R上的单调性，再将函数值的大小转化为自变量的大小，分参转化为恒成立问题，进而得到答案. 【详解】因为在单调递增（增＋增），且函数是R上的奇函数，容易判断函数在R上是增函数. 对任意的, 问题 ， 记，则问题 因为，当且仅当时取“=”， 所以. 故选：D. 【点睛】本题较为综合，到这一步都是比较正常的思路，接下来注意齐次式的处理方式，，目的是为了消元（看成一个量），下一步的换元一定要注意要把分母整体换元，这样后面的运算会简单，最后结合基本不等式或者导数解决即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BC 【解析】 【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果. 【详解】A选项中：与对应关系不同， 故不是同一函数，故A不正确； B选项中：与定义域都为R，且对应关系相同， 故是同一函数，故B正确； C选项中：当时，，当时，，所以， 故与是同一函数，故C正确； D选项中：函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同， 故不是同一函数，故D不正确. 故选：BC． 10. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到， B选项，令得；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得，， 故，A正确； B选项， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，令得，， 又，故，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 11. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等式得到，代入即可判断D. 【详解】对于A，，即， 当且仅当，即，时等号成立，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，则， 所以， 当时，取最小值，故C错误； 对于D，由得，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：BD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题的否定是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定求解. 【详解】命题的否定是，. 故答案为：， 13. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数单调性得出对应的不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 即，解得； 且在上单调递增，可得； 且需满足，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，得到，然后分类讨论的范围，解出即可. 【详解】设，又因为，所以， 则，当时，， 则，显然存在任意正整数使得成立； 当时，，， 要使得正整数的最大值为8，则，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数的值域，然后根据题意列不等式求解. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算即可； （2）根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】（1）原式 . （2），即， 根据指数函数单调性得，解得， 则解集为. 16. 设全集为，集合，． （1）当时，求和 （2）在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；或. （2） 【解析】 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【小问1详解】 由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. 【小问2详解】 选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）判断函数单调性并用定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）因为是定义域为R的奇函数， 所以 解得，此时，则， 则此时为奇函数. 在上单调递增，证明如下： ， 任取实数，且， 则， 因为，所以，且， 所以， 即时，， 所以在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，进而求解，再根据函数单调性的定义证明即可； （2）由题意及（2）可将原不等式变形为在上恒成立，分离常数求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是奇函数，所以等价于， 由（1）知在上单调递增， 所以在上恒成立； 等价于在上恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增； 因为时，；时，； 所以. 18. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值； （3）若满足，则称为函数的不动点． 若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象过点，得到，再根据，由对称性求得m即可求解； （2）根据，，分，，，，讨论求解； （3）根据不动点的定义得到方程方程有两个不相等的正实根，，由二次函数根的分布可得到，求解得，再由并结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以， 又因为，所以，解得， 所以函数的解析式为 【小问2详解】 由，， 当时，即， 函数在单调递减，所以； 当时，函数在单调递增，所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离大， 所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离小， 所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离和端点与对称轴的距离相等， 所以； 综上所述： 【小问3详解】 因为函数有两个不相等的不动点，，且，， 所以，即方程有两个不相等的正实根，， 所以，解得，所以， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以. 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规；第二问的关键在于要分类讨论；第三问的关键是把问题转换为方程有两个不相等的正实根，，列出等价条件求出的范围，进而结合韦达定理与基本不等式即可. 19. 若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记 ，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定. （1）若，函数的定义域为，求和； （2）若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”； （3）设，若函数的定义域为，且表达式为： 判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得. 【答案】（1），； （2）由已知单值函数的定义可以改写为：若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数. 假设不是上的单值函数，则存在，，成立，即，于是，即，依此类推，得， 但由题意，因此，而，因此， 这样得出了矛盾的结论，所以假设不成立，即是上的单值函数； （3）由新定义知是单值函数，也是单值函数， ，则， 又时，，时，， 又，因此对任意的，， 所以是上的“单值函数”， 对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和， 对于任意的区间， ，，不妨设，，， 若，则，， 若，则，， 若，则，， 所以， 对于任意的区间，显然存在正整数，使得， 因此在，，，…,（它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得， 因此必存在，使得，又是上的单值函数， 所以，，…，， 这表示，取， 所以对任意的区间，存在正整数，使得. 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算； （2）根据新定义用反证法证明； （3）根据新定义证明是否为上的“单值函数”，由函数定义说明的长度不变，然后得出在，，，…,（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，利用单值函数的定义得出，，从而证明结论成立． 【小问1详解】 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，关键是正确理解新定义，能迅速运用新定义解题，本题中对单值函数的定义理解时关键点改写为，对理解新定义起到很好的辅助作用（与单调性定义比较），加速理解新定义，在问题3的证明中抓住函数的定义域区间“长度”与值域“长度”不变，从而有，然后利用新定义追根溯源得出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $