精品解析：青海省西宁市第十四中学2025届高三上学期期中考试数学试卷

西宁十四中2024-2025上学期高三期中数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】计算出后结合模长定义即可得. 【详解】，则. 故选：A. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合，并确定集合中元素，然后由交集定义计算． 【详解】依题意得，，则． 故选：C． 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将两边平方，由可得，根据数量积的运算计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，即，， 解得（负值已舍去）. 故选：D 4. 某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表： 身高（cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180] 频数 10 20 30 25 10 5 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100名学生身高的中位数小于160cm B. 100名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过 C. 100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间 D. 100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义判断A选项，求出100名学生中身高低于165cm的学生有的人数判断B选项，根据极差的定义判断C选项，根据平均值的定义判断D选项. 【详解】100名学生身高的中位数是第和第名学生身高的平均值， 第名和第名学生的身高均大于，所以100名学生身高的中位数大于160cm，故A错误； 100名学生中身高低于165cm的学生有名， 所以100名学生中身高低于165cm的学生所占比例为，故B错误； 100名学生身高的极差最大为，最小为， 但是“介于”不能准确表示临界值能否取到，故C错误； 100名学生身高的平均值为，故D正确. 故选：D. 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，分析可知对任意恒成立，参变分离结合正弦函数的值域分析求解. 【详解】因为，则， 由题意可得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 又因为，则，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，可得，可求，进而可得，求解即可． 【详解】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，， 则．根据抛物线定义知，， 又若，且， 因为，设， 则，，又，解得，， 所以， 因为， 所以，，解得． 故选:C 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，...，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得，再利用累加法求得，再利用裂项相消法求解. 【详解】解：由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，，，…，， 将以上个式子相加得， 所以， 所以， . 故选：D 8. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，推得函数图象关于直线对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得. 【详解】 由可知函数的图象关于直线对称， 且，因是偶函数，则，故有， 即函数的周期为2.又当时，，故可作出函数的图象如图. 由关于x的方程恰有5个实数解，可理解为与恰有5个交点. 而这些直线恒过定点,考虑直线与相交的两个临界位置, 由图知，需使，即. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题. 解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题. 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，则 C. 函数，只有一个零点 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用不等式的性质得到，；B选项，由基本不等式求出最小值；C选项，根据，得到函数有两个零点；D选项，化简得到，故，求出不等式解集. 【详解】A选项，，故，又，所以，A正确； B选项，，又基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，，， 故函数一定有两个零点，C错误； D选项，不等式， 故，解得，故解集为，D正确. 故选：ABD 10. 已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 的倾斜角等于 C. 在y轴上的截距为 D. 圆上存在两个点到直线的距离等于 【答案】AD 【解析】 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D. 【详解】因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 又直线经过点， 代入点斜式方程可得，，即直线的方程为：. 对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为， 又直线的斜率， 因为，所以直线与直线垂直，故A正确； 对于B，由直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，则， 所以，故B不正确； 对于C，令，代入直线的方程，得， 即直线在轴上的截距等于，故C不正确； 对于D，圆的圆心到直线的距离， 因此直线与圆相离， 又圆上点到直线的最近距离为， 因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确； 故选：AD. 11. 已知命题；命题，则（ ） A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题 【答案】BC 【解析】 【分析】分别比较与的大小关系，即可判断命题的真假，即可判断AB；根据诱导公式即可判断命题的真假，即可判断CD. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以命题是假命题，是真命题， 由诱导公式可得， 所以是真命题，是假命题. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且成等比数列，可得， 即，解得， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 13. 对于随机事件，若，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式得到，从而. 【详解】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题设，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. 【小问1详解】 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 16. 如图，平面，，，，，点分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与直线所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得； （2）以点为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 连接，因为，， 所以．又因为，所以四边形为平行四边形， 又因为点分别为的中点，所以且， 因为，，所以且， 又因为点分别为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 又，故以点为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图）． 因为， 所以，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以． 设平面与直线所成角， 则， 所以与直线所成角的正弦值为． 17. 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解； （2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 整理化简得，， 所以曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率都存在，设， 则直线的方程为， 分别延长，交曲线于点， 设， 联立，即， 则， 根据对称性，可得， 则 ， 即，解得， 所以直线FM的斜率为. 18. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 【答案】（1）①0.16；②3.128 （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为， 由，且所以时，， “双败淘汰制”对甲夺冠有利；时，， “单败淘汰制”对甲夺冠有利；时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 【解析】 【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可； （2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算. 【小问1详解】 ①记“甲获得第四名”为事件，则； ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：， 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ； 故的分布列如下： 2 3 4 故数学期望； 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 【答案】（1） （2）时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； （3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间； （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． 【小问1详解】 ，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； 【小问2详解】 函数定义域为， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得， 此时在上，在单调递减， 在上，在单调递增， 综上： 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁十四中2024-2025上学期高三期中数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表： 身高（cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180] 频数 10 20 30 25 10 5 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100名学生身高的中位数小于160cm B. 100名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过 C. 100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间 D. 100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，...，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，则 C. 函数，只有一个零点 D. 不等式的解集为 10. 已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 的倾斜角等于 C. 在y轴上的截距为 D. 圆上存在两个点到直线的距离等于 11. 已知命题；命题，则（ ） A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为__________. 13. 对于随机事件，若，，，则_________. 14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 16. 如图，平面，，，，，点分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与直线所成角的正弦值． 17. 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 18. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $