精品解析：云南省曲靖市沾益区2024-2025学年八年级上学期数学期中复习综合测试卷

云南省曲靖市沾益区2024-2025学年上学期 八年级数学期中复习综合测试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )． A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 3. 量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 85° 4. 如图，点A在DE上，点F在AB上，△ABC≌△EDC，若∠ACE＝50°，则∠DAB＝（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 5. 如图，，，三点在同一条直线上，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法： ① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ；④和一定是全等三角形，其中正确的有：( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共6小题，每小题2分，满分12分） 9. 点关于x轴对称点B的坐标是_____． 10. 如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35º，∠BCO=30º，那么∠AOB=_________． 11. 如图，已知的垂直平分线交于点，交于点，若，则___________ 12. 如图，，为，的平分线的交点，于点，且，则与之间的距离等于______． 13. 如图，则__________． 14. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AB=5，D是AC的中点，P是AB上一动点，则CP+PD的最小值为_____． 三、解答题（共64分） 15. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 16. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，．求证：． 17. 如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数． 18. 在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形 (三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上)． （1）画出 关于y轴对称的 （2）写出点 和对称点的坐标． （3）求出的面积． 19. 如图，已知，，，．与有什么位置关系？ 请证明你的结论． 20. 如图，在中，边垂直平分线分别交于点D，E． （1）若，求的周长； （2）若，求度数． 21. 如图，已知△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD，垂足为Q，BE交AD于点P． （1）求∠PBQ的度数； （2）判断PQ与BP的数量关系． 22. 如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证： （1）FC＝AD； （2）AB＝BC+AD． 23. 在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全； ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形； 想法2：BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK． 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省曲靖市沾益区2024-2025学年上学期 八年级数学期中复习综合测试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )． A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式即可求出结果． 【详解】解：黑色正五边形的内角和为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式． 3. 量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°， ∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°， ∵∠AOC＝60°， ∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 4. 如图，点A在DE上，点F在AB上，△ABC≌△EDC，若∠ACE＝50°，则∠DAB＝（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据△ABC≌△EDC得到∠E＝∠BAC，然后由三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵△ABC≌△EDC， ∴∠E＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠E+∠ACE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠DAB＝∠ACE＝50°， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形全等的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，三角形外角的性质． 5. 如图，，，三点在同一条直线上，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案. 【详解】解：∵，， A、，满足HL的条件，能证明全等； B、，得到，满足ASA，能证明全等； C、，得到，满足SAS，能证明全等； D、不满足证明三角形全等的条件，故D不能证明全等； 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法. 6. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度． 【详解】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， 又∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠EBC＝30°， ∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC， ∴∠AEP＝60°，BE＝EC， 又AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠EAP＝60°， 则∠AEP＝∠EAP＝60°， ∴△AEP等边三角形，则AE＝AP＝2， 在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4， ∴BE＝EC＝4， ∴AC＝CE+AE＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质，利用三角形外角性质得到∠AEB＝60°是解题的关键． 7. 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论. 【详解】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5； ②长度分别为2、6、4，不能构成三角形； ③长度分别为2、7、3，不能构成三角形； ④长度分别为6、3、3，不能构成三角形； 综上所述，得到三角形的最长边长为5． 故选：B. 【点睛】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况. 8. 如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法： ① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ；④和一定是全等三角形，其中正确的有：( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③④正确，无法判断和是否相等． 【详解】根据矩形的性质得到，， 在和中， ， ∴，故④正确； ∴， ∴ 是等腰三角形，故①正确； 故③折叠后得到的图形是轴对称图形也正确； ∵无法判断和是否相等，∴②错误， 综上可知：①③④正确， 故选：． 【点睛】此题考查了图形的翻折变换，解题的关键是正确理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变. 二、填空题（共6小题，每小题2分，满分12分） 9. 点关于x轴的对称点B的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此即可解答． 【详解】解：点关于x轴的对称点B的坐标为． 故答案为：． 10. 如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35º，∠BCO=30º，那么∠AOB=_________． 【答案】130°． 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可知，轴对称图形的两部分是全等的． 【详解】依题意有∠AOB=2（∠A+∠ACO）=2（∠A+∠BCO）=130°． 即填：130° 11. 如图，已知的垂直平分线交于点，交于点，若，则___________ 【答案】52° 【解析】 【分析】先根据垂直平分线的性质得出，然后有，根据直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】∵MN垂直平分AB 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握垂直平分线的性质和直角三角形两锐角互余是解题的关键． 12. 如图，，为，平分线的交点，于点，且，则与之间的距离等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质得，再通过平行线的性质证明三点共线，从而求解，熟记角平分线性质和平行线性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示， ∵为，的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴与之间的距离为， 故答案为：． 13. 如图，则__________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】求出，证明，推出，根据三角形的外角性质求出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AB=5，D是AC的中点，P是AB上一动点，则CP+PD的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】作C关于AB的对称点C'，连接C′D，易求∠ACC'=60°，则AC=AC'，且△ACC'为等边三角形，CP+PD=DP+PC'为C'与直线AC之间的连接线段，其最小值为C'到AC的距离=AB=5，所以最小值为5． 【详解】解：作C关于AB的对称点C'，连接C′D， ∵∠B=90°，∠A=30°， ∴∠ACB=60°， ∵AC=AC'， ∴△ACC'为等边三角形， ∴CP+PD=DP+PC'为C'与直线AC之间的连接线段， ∴最小值为C'到AC的距离=AB=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 三、解答题（共64分） 15. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 【答案】∠ADB＝80°，∠ADE＝50° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是△ABC角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝80°， ∵DE是△ADC的高线， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝50°． 【点睛】考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． 16. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用平行线的性质，先证明，，再根据推出，便可得结论． 【详解】证明：∵， ∴，即． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 17. 如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键． 由高定义可得，再结合运用三角形内角和定理可求得；再根据三角形内角和定理可得，依据角平分线的定义可得、，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴； ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴． 18. 在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形 (三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上)． （1）画出 关于y轴对称的 （2）写出点 和对称点的坐标． （3）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）7 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，写出点的坐标，三角形的面积公式； （1）根据轴对称的性质，分别描出三个顶点的对称点，再连线即可作出△， （2）根据坐标系写出和的坐标即可； （3）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可知，． 【小问3详解】 解： 19. 如图，已知，，，．与有什么位置关系？ 请证明你的结论． 【答案】．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，结合，可得出，即可得证． 【详解】解：． 理由：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D，E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质及三角形内角和定理，等边对等角，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，得出，由，即可得，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又， ∴的周长； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵ ∴， ∴． 21. 如图，已知△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD，垂足为Q，BE交AD于点P． （1）求∠PBQ的度数； （2）判断PQ与BP的数量关系． 【答案】（1）30°；（2） BP=2PQ 【解析】 【分析】（1）首先由等边三角形的性质判定△BAE≌△ACD，然后通过等角互换，即可得出∠PBQ； （2）根据直角三角形中角度的关系，即可得出BP=2PQ. 【详解】为等边三角形， ． 在和中， ． ． ，垂足为 ． 在中， ． 【点睛】此题主要考查等边三角形、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题. 22. 如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证： （1）FC＝AD； （2）AB＝BC+AD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）， ， 点E是CD的中点， ， 在和中，， ， ； （2）由（1）已证：， ， 又， 是线段AF的垂直平分线， ， 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 23. 在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全； ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形； 想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK． 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）． 【答案】（1）80°；（2）①补图见解析；② 证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）①根据要求作出图形，如图2； ②根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠QAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ=20°， ∴∠AQB=∠CAQ+∠C=20°+60°=80°； （2）①如图2； ②∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ， ∵点Q关于直线AC的对称点为M， ∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC， ∴∠MAC=∠BAP， ∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°， ∴∠PAM=60°， ∵AP=AQ， ∴AP=AM， ∴△APM是等边三角形， ∴AP=PM． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$