精品解析：福建省莆田市莆田砺志学校2025届高三上学期第二次阶段性质量检测数学试卷

莆田砺志学校2024-2025学年（上）第二次阶段性质量检测 高三年级数学学科试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合 中的元素 ，满足， 则 可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 3. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零． 【详解】解：由，得 ， 又因为，即，得 故， 的取值范围是 ，且． 定义域就是 故选：B． 5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解． 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式. 由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望， 所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选， 可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星， 有种情况， 所以所求概率为. 故选：C. 6. 设为两个平面，为两条直线，且 .下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若 与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当 ，因为， ，则， 当 ，因为， ，则， 当 既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则 与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线 分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线 的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面， ，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 7. 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积. 【详解】 延长 与交于点．由，，得，． 因为所对的圆心角为直角，所以，． 所以该梅花砖雕的侧面积， 扇环的面积为， 则该梅花砖雕的表面积． 故选：C． 8. 已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析可知四边形关于直线 对称，且 ，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值. 【详解】 如图所示，因为，且，所以 垂直且平分 ， 则 为等腰三角形，又，所以 为等边三角形, 则四边形关于直线 对称，故点E在四边形上运动时， 只需考虑点E在边上的运动情况即可， 因为，，知，即 ， 则， ①当点E在边 上运动时，设，则， 则, 当时，最小值为； ②当点E在边 上运动时， 设,则, 则 ， 当时，的最小值为； 综上，的最小值为； 故选：C． 【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于B，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于C，直接利用基本不等式即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故A错误； 对于B，，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中奇数项的二项式系数之和为64 B. 展开式中存在常数项 C. 展开式中含项的系数为560 D. 展开式中系数最大的项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用通项公式结合第4项与第5项的二项式系数相等可知，可推出，再由各项系数和为2187，利用赋值可得，解得 ，从而得到一个已知的二项式，再利用二项式系数的性质和方法去判断各选项. 【详解】由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得， 又展开式的各项系数之和为2187，即当时，，解得 ， 所以二项式的系数之和为， 又由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等， 则奇数项的二项式系数之和为，故A正确； 由的展开式的通项，令， 解得，故展开式中不存在常数项，故B错误； 又令，解得，所以展开式中含项的系数为，故正确； 由得，，又 ，所以 5， 所以展开式中系数最大的项为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（ ） A. 当时，该几何体的体积为45 B. 当时，该几何体为台体 C. 当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为 D. 当点到直线距离最大时，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合图形利用分割法球体积；对于B：根据题意结合台体的结果特征分析判断；对于C：根据台体的结构特征结合正方体的内切球分析求解；对于D：建系，利用空间向量球点到面的距离，结合单调性分析求解. 【详解】若，即，可知为矩形， 对于选项A：当时，即， 取的中点，连接，如图所示： 因为底面，底面，则， 且为正方形，则， ，平面，可得平面， 又因为，∥ ，可知为平行四边形，则∥， 可知为直三棱柱，底面， 所以该几何体的体积为，故A正确； 对于选项B：当时，即，可知，所以该几何体不为台体，故B错误； 对于选项C：当时，即，则，所以该几何体为台体， 如图所示，为相应边的中点，则为正方形， 因为底面，且，可知所求球的半径， 且正方形的内切球的半径即为， 所以最大球的半径，即S的最大值为，故C正确； 对于选项D：以为坐标原点，分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 则点到直线距离为， 可知在内单调递增，所以当点到直线距离最大时，则 ，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （3）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （4）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 平行四边形中，， 为线段 的中点，为线段上的点，且，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由题意得，，，再结合计算以及即可得解. 【详解】由题意可得，，， 所以 ， 又，所以，， 所以. 故答案为：. 13. 已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，分类讨论区间端点与对称轴的大小，将恒成立问题转化为最值问题解决. 【详解】由可知，函数对称轴为 ， 当时，在上单调递增，， 所以要使恒成立，即，即，解得； 当时，在上单调递增，所以， 则，解得； 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 14. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为__________；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】填空(1)：先确定后两队共发2次球就结束比赛，包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率； 填空(2)：先确定时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率. 【详解】后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥． 记事件 “后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以． 即后两队共发2次球就结束比赛的概率为． 时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利． 记事件 “甲以25：22取得该局胜利”， “甲以25：23取得该局胜利”， “时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”， 因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以 ， ， ． 所以时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为. 故答案为：，. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为 的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得 平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出 ，再根据四棱锥的体积公式即可求出． 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以 平面， 而平面， 所以平面平面． （2）[方法一]：相似三角形法 由（1）可知． 于是，故． 因为，所以，即． 故四棱锥的体积． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法 由（2）知,所以． 建立如图所示的平面直角坐标系，设． 因为，所以，，，． 从而． 所以，即．下同方法一. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，所以，，，，． 所以，，． 所以． 所以，即．下同方法一. [方法四]：空间向量法 由，得． 所以． 即． 又底面，在平面内， 因此，所以． 所以， 由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义， 得，即． 所以，即．下同方法一. 【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解； 方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长. 16. 一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 （1）已知可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）； （2）某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X，求X的分布列与数学期望． 参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 其中． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 【答案】（1） （2）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）将的等号两边同时取对数，再结合回归直线的斜率和截距的最小二乘法求得结果； （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据超几何分布求出分布列以及数学期望. 【小问1详解】 将的等号两边同时取对数得， 所以．， ． 所以， ． 所以，即， 所以． 【小问2详解】 由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，，． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ． 17. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量 服从正态分布，则 ，，. 【答案】（1）；0.1359 （2）①；②；③1 【解析】 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②借助条件概率公式计算即可得；③借助二项分布期望公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 则 ； 【小问2详解】 ①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件 ， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为1. 18. 如图，在四棱柱中，侧棱 底面，， ，，，且点 和 分别为 和 的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设 为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 ， 又因为 分别为 和 的中点，得 . （Ⅰ）证明：依题意，可得 为平面的一个法向量，， 由此可得， ，又因为直线平面，所以平面 （Ⅱ），设 为平面的法向量，则 ，即，不妨设，可得 ， 设 为平面的一个法向量，则，又 ，得 ，不妨设，可得 因此有，于是， 所以二面角的正弦值为. （Ⅲ）依题意，可设，其中 ，则 ，从而 ，又 为平面的一个法向量，由已知得 ，整理得 ， 又因为 ，解得 ， 所以线段 的长为 . 考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用. 19. 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. （1）判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； （3）设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于 的方程在上有两个不相等实根，求 的取值范围. 【答案】（1）函数在上是，函数在上不是 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，令k=1，作差，与0比较大小即可. （2）根据定义，转化为恒成立即可. （3）先求出的范围，再根据二次函数的性质可求 的取值范围. 【小问1详解】 由题知，函数，定义域为， 所以， 所以函数在上是“1-利普希兹条件函数”. 函数，所以， 当时，则， 函数在上不是“1-利普希兹条件函数”. 【小问2详解】 若函数是“利普希兹条件函数” 则对于定义域上任意两个，均有成立， 则恒成立 因为，，所以，得， 所以的最小值为1. 【小问3详解】 解：因为函数是“2024-利普希兹条件函数”， 所以在上恒成立，即在上恒成立，由，得 原方程在上有两个不相等实根等价于 ①,在上有两个不相等实根 令，， 则①式等价于关于 的方程在上有两个不相等实根， 即，令, 所以问题等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图. 　　 则，所以 又，所以使得以上不等式成立， 所以. 【点睛】本题考查了函数新定义问题，函数与方程的综合应用，零点存在性定理的应用和不等式问题，考查了转化思想和数形结合能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田砺志学校2024-2025学年（上）第二次阶段性质量检测 高三年级数学学科试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 设为两个平面，为两条直线，且 .下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若 与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 7. 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ） A. B. C. D. 8. 已知四边形 中，，点在四边形 的边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. -1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中奇数项的二项式系数之和为64 B. 展开式中存在常数项 C. 展开式中含项的系数为560 D. 展开式中系数最大的项为 11. 如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（ ） A. 当时，该几何体的体积为45 B. 当时，该几何体为台体 C. 当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为 D. 当点到直线距离最大时，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 平行四边形 中，，为线段的中点，为线段上的点，且，若，则___________. 13. 已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是______． 14. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为__________；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面 ，M为 的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 16. 一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 （1）已知可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）； （2）某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X，求X的分布列与数学期望． 参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 其中． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 17. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量 服从正态分布，则 ，，. 18. 如图，在四棱柱中，侧棱 底面 ，， ，，，且点 和 分别为 和 的中点. （1）求证：平面 ； （2）求二面角的正弦值； （3）设 为棱上的点，若直线和平面 所成角的正弦值为，求线段 的长. 19. 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. （1）判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； （3）设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $