精品解析：河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市上学期高二年级期中考试联考数学试卷 ❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B. 空间中三个非零向量，若，，则 C. 对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C共面 D. ，，若，则与的夹角为锐角 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 若两条直线与互相平行，则实数a的值为 B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或 11. 在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 C. 当三点不共线时，若点，则射线平分 D. 过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程化简后为______． 13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________ 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边上中线所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程； （3）的外接圆方程． 16. 如图，在棱长为2的平行六面体中，. （1）求线段的长度； （2）求直线与直线的夹角的余弦值. 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为 （1）已知直线l的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线l与平面所成角的正弦值; （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点P到平面的距离; （3）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为，求几何体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省郑州市上学期高二年级期中考试联考数学试卷 ❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】向量，， 则向量在向量上的投影向量为： ； 故选：D 3. 已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的简单几何性质即可求解. 【详解】解：因为方程表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以有，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 4. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量在基底下坐标为，用该基底表示出向量，再由在基底下坐标为，表示出向量，建立等式求出即可. 【详解】设向量在基底下坐标为， 则. 已知在基底下坐标为， 即. 所以， 即， 则：， 所以向量在基底下的坐标是， 故选：B. 5. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程得到直线斜率，确定斜率的范围，再由斜率的定义，即可得出倾斜角的范围. 【详解】设为直线的倾斜角，当时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角， 当时，直线的斜率＝， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 综上所述，. 故选：B. 6. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将用表示，用表示，再利用向量法求解即可. 【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中， ， 因为M，N分别为BC，AD的中点， 所以， 且， 则 ， 所以， 即直线AM和CN夹角的余弦值为. 故选：A. 7. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围. 【详解】如图所示. 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】分析给定方程的曲线性质并画出图象，再由目标函数的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最大值. 【详解】在方程中，用换方程不变，用换方程不变， 因此曲线关于x轴和y轴对称， 当，时，方程为，即， 方程表示的曲线如图（含原点）： 令，则表示过点的直线（不含点）， 观察图知，当直线与曲线在第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大， 由圆心到直线的距离为得，，而，解得， 所以的最大值为 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B. 空间中三个非零向量，若，，则 C. 对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C共面 D. ，，若，则与的夹角为锐角 【答案】AC 【解析】 【分析】由空间向量共面定理即可判断AC，举出反例即可判断B，由空间向量共线的坐标运算即可判断D 【详解】由可得，即， 所以，所以A，B，C三点共线，故A正确； 若，则，由可得，但是不一定有，比如正方体共顶点的三条棱所在向量，故B错误； 由可得， 即，所以共面，即P，A，B，C共面，故C正确； 由与的夹角为锐角可得且与不同向共线，即且，解得且，故D错误； 故选：AC 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 若两条直线与互相平行，则实数a的值为 B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，两条直线平行时，两条直线的斜率相等，求值即可；对于选项B，举出直线，判断即可；对于选项C，举出直线，判断即可；对于选项D，先判断直线过定点，再利用斜率公式结合图象求实数k的范围即可. 【详解】对于A，若两条直线与互相平行， 其中直线的斜率为，则直线的斜率存在且为， 得，解得或， 舍去，此时两条直线与重合， 故实数a的值为，选项A正确； 对于B，当时，直线不经过第三象限，此时点是坐标原点，不在第二象限，选项B错误； 对于C，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项C错误； 对于D，将直线化为， 所以直线恒过定点，且直线的斜率为， 其中，， 结合图象，若直线与线段相交，可得或， 选项D正确． 故选：BC. 11. 在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 C. 当三点不共线时，若点，则射线平分 D. 过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，则直线过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点，根据题意可求出的方程可判A；根据直线与圆有公共点列方程判断B；根据三角形内角平分线的性质可判断C；分析可得两圆的公共弦，求出公共弦所在直线方程可判断D. 【详解】对于A，设点，则由，可得，化简可得，故A正确； 对于B，曲线的方程为，圆心为，半径为，直线，即， 若直线与曲线有公共点，则圆心到直线的距离， 解得或，则的取值范围是，故B错误； 对于C，当三点不共线时，，则， ，，则，所以， 所以由角平分线定理的逆定理知射线平分，故C正确； 对于D，设曲线外一点，因为，，所以在以为直径的圆上. 线段的中点坐标为， 所以以为直径的圆方程为 化简得：， 因为两圆的公共弦，所以直线的方程为， 即，令，解得，则直线过定点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程化简后为______． 【答案】 【解析】 【分析】运用方程的几何意义得出结果. 【详解】解：∵， 故令，， ∴， ∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆， 即，，， ∴方程为. 故答案为：. 13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解. 【详解】解：由条件，知，, 所以 ， 所以, 故答案为： 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，结合图象，即可求得. 【详解】设，，所以， 又，所以． 因为且，所以， 整理可得， 又动点M的轨迹是， 所以，解得， 所以，又， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 因为，所以直线方程为：即， 圆心到直线距离， 即直线与圆相交.（如图中的点均满足） 又因为，所以的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边上中线所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程； （3）的外接圆方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，又，从而由截距式即可写出直线方程； （2）由B、C两点坐标可得直线的斜率，进而可得直线的垂直平分线的斜率，然后由点斜式即可写出直线方程； （3）设的外接圆方程为，将，，代入圆的方程，解方程组即可得答案. 【小问1详解】 解：设边的中点的坐标为，则，， 所以边的中线过点，两点， 由截距式得所在直线方程为，即； 【小问2详解】 解：直线的斜率，则直线的垂直平分线的斜率， 由（1）知，中点的坐标为， 由点斜式得直线的方程为，即； 【小问3详解】 解：设的外接圆方程为，将，，， 代入方程得，解得，，， 所以的外接圆的方程为． 16. 如图，在棱长为2的平行六面体中，. （1）求线段的长度； （2）求直线与直线的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意将分解成的线性组合，由模长公式结合已知条件即可求解. （2）先把向量分解成的线性组合，此时结合已知条件可以求出的值，再由模长公式求出，最终代入向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示： 由图可知， 因此由题意有 . 【小问2详解】 如图所示： 所以， 由（1）可知， 所以由题意有 ， ， 又， 且（1）可知， 不妨设直线与直线的夹角为， 所以， 故直线与直线的夹角的余弦值为. 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 【小问2详解】 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）时，最小，最小值为；（3） 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标． （1）直接由两点间的距离公式可得； （2）把（1）中求得利用配方法求最值； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解． 【详解】解：如图建立空间直角坐标系， ，， ， ， ，， ． （1）； （2）， 当时，最小，最小值为； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短， 则，0，，，，，取的中点，连接，， 则，，， ，，，， 是平面与平面的夹角或其补角． ，， ． 平面与平面夹角的余弦值是． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为 （1）已知直线l的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线l与平面所成角的正弦值; （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点P到平面的距离; （3）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为，求几何体的体积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）记直线l的方向向量，平面的法向量，列出方程即可求解； （2）由已知可得平面的法向量，在平面内任取一点，又，则，利用相关公式求解即可； （3）由题可知，由一个棱长是2的正方体和6个高为1的正四棱锥构成，即可计算出体积． 【小问1详解】 由已知可得直线l的方向向量， 平面的法向量， 记直线l与平面所成角为， 则， 即可得直线l与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 由已知可得平面的法向量， 在平面内任取一点 又，则， 可得点P到平面的距离 故点P到平面的距离； 【小问3详解】 由集合可知几何体中点的集合为，如下图所示： 可知S是一个底面以为棱长，高为2的正四棱柱， 则 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解空间直角坐标系中直线、平面等的方程并求得它们的方向向量或法向量，利用空间向量求出线面角、点到平面的距离等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $