广西南宁市新民中学2024-2025学年九年级上学期期中质量监测数学试题

第 1页（共 6页） 2024 年秋季学期初三年级期中质量监测试题（数学） 参考答案与评分细则 一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．A． 2．D． 3．C． 4．C． 5．D． 6.．B． 7．A． 8．.A． 9.．B． 10．B． 11．C．12．A． 二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 13．x≥9 14．（x+5）（x﹣5） 15．2000 16． 5 17． 5 18． 4或 2 三．解答题：（本大题共 8 小题，共 72 分） 19． 10 34 3 12  解：原式＝1× 3 1 + 2 3 1  .........4分 ＝ 3 1 + 2 3 1  .........5分 ＝2． .........6分 20．x（x+4）＝3x+12， 解：x（x+4）﹣（3x+12）＝0， .........1分 （x﹣3）（x+4）＝0， .........2分 x﹣3＝0或 x+4＝0， .........4分 x1＝3，x2＝﹣4． .........6分 21．解：（1）如图，点 E即为所求； .........5分 （2）在 Rt△ADE中，∠DAB=30°，AD=4. 则 DE＝ 2 1 AD＝ 2 1 ×4=2， .........7分 根据勾股定理， 3224 2222  DEADAE .........9分 ∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2 3． .........10分 22．解：（1）本次调查的学生人数为 36 ，a＝ 14 ； .........2分 （2） 6人 ． .........4分 （3）方法一：列表如图， 第 2页（共 6页） .........6分 方法二：树状图如图， .........6分 由图可知共有 9种等可能的情况，两个班选择同一种图书的情况共有 3种，.........8分 ∴P= 3 1 9 3  ．.........10分 23．解：（1）∵左、右边的边宽为 x cm，且为天头长与地头长的和的 10 1 ， ∴天头长与地头长的和为 10x cm， ∵天头长与地头长的比是 6：4， ∴天头长为 10x• 46 6  =6x（cm），地头长为 10x• 46 4  =4x（cm）；.........2分 （2）根据题意，装裱五言联用的卷轴的长为（92+10x）cm，宽为（25+2x）cm，.........3分 ∵卷轴的长是宽的 4倍， ∴92+10x＝4（25+2x），.........4分 解得 x＝4，.........5分 ∴6x＝6×4＝24， ∴五言联装裱预留的天头长 24cm；.........6分 （3）∵装裱用的卷轴长为 190cm， ∴7a+10x＝190，.........7分 ∴a 7 10-190 x  ，.........8分 ∵a＞x，a与 x都是正整数， ∴x＝5，a＝20；.........9分 ∴7a＝7×20＝140， 第 3页（共 6页） ∴徐老师裁剪的长方形纸张的长为 140cm．.........10分 24．（1）证明：连接 OC． ∵CF＝EF， ∴∠CEF＝∠ECF，.........1分 ∵OD⊥AB， ∴∠DOE＝90°， ∴∠ODE+∠OED＝90°，.........2分 ∵OD＝OC， ∴∠ODE＝∠OCD，.........3分 ∵∠CEF＝∠OED， ∴∠OED＝∠ECF，.........4分 ∴∠OCD+∠ECF＝90°， 即∠OCF＝90°，.........5分 ∴OC⊥CF， ∴CF是⊙O的切线．.........6分 （2）解：设⊙O的半径为 r， ∵BF＝4， ∴OF＝r+4， 在 Rt△OCF中， OF2＝OC2+CF2， ∴（r+4）2＝r2+82，.........7分 解得：r＝6，.........8分 ∴弧 BD的长为  3 180 690 180    rn ．.........10分 25．（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝AC， ∵MA绕点 M逆时针旋转 120°得到 MD， ∴DM＝AM，∠AMD＝120°，.........1分 ∴∠DMB＝60°， ∵AN＝BM，∠DMB＝∠A＝60°，.........2分 第 4页（共 6页） ∴△ANM≌△MBD（SAS），.........3分 ∴MN＝DB；.........4分 （2）解：四边形 AFBD为平行四边形，理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵MA绕点 M逆时针旋转 90°得到 MD， ∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMA＝∠DMB＝90°， ∴∠MAD＝∠ABF＝45°， 则 AD∥BF，.........5分 在△ANM和△MBD中， MA＝MD，∠MAN＝∠DMB，AN=MB ∴△ANM≌△MBD（SAS）， ∴∠AMN＝∠MDB，.........6分 ∵AE⊥MN， ∴∠AMN+∠MAE＝90°， ∵∠MDB+∠MBD＝90°， ∴∠DBM＝∠MAF， ∴DB∥AF，.........7分 ∴四边形 AFBD为平行四边形；.........8分 （3）解：BN+CM的最小值为 54 ．.........10分 理由：如图，过点 A作∠BAG＝45°，使 AG＝CB， 连接 GM、GC，BG，延长 CB，过点 G作 GO⊥CB于点 O， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠GAM＝∠BCN＝45°， ∵AN＝BM， ∴AM＝CN， 又∵AG＝CB， ∴△GAM≌△BCN（SAS）， 第 5页（共 6页） ∴GM＝BN， ∴BN+CM＝GM+CM≥CG， ∴当点 G、M、C三点共线时，BN+CM的值最小，最小值为 CG的值， ∵∠GAM＝∠ABC＝45°， ∴AG∥BC， ∴∠BAC＝∠ABG＝90°， ∴∠GBO＝180°﹣∠ABG﹣∠ABC＝45°， ∴∠GBO＝45°， ∴OG＝OB， ∴ OGOBGB 22  ， ∴ 2 OBOG ， ∴ 26OC ， 在 Rt△GOC中， 54GC ， ∴BN+CM的最小值为 54 ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复布日期： 202410/20 20:箱 8977189322；学号：26．解：（1）描点连线绘制函数图象如下：.........2分 由题意得，点 B（ 2 1 m，n）， 将点 B的坐标代入函数表达式得：n＝（ 2 1 m）2= 4 1 m2； 故答案为：n= 4 1 m2；.........3分 （2）方案一： 点 B′（ 2 1 m，n），.........4分 将点 B′的坐标代入函数表达式得：n＝a（ 2 1 m）2 4 1  am2； 则 n= 4 1 am2，.........5分 方案二： 点 B（h 2 1  m，k+n）.........4分 将点 B的坐标代入抛物线表达式得：k+n＝a（h+ 2 1 m﹣h）2+k， 第 6页（共 6页） 解得：n= 4 1 am2， 则 n= 4 1 am2，.........5分 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由 a 决定．.........6分 （3）由题意知：AB=4=m，由（2）知 n= 4 1 am2① 对于抛物线 y＝2（x﹣h）2+k ，可知 a=2,设 CD=n1 则 n1= 242 4 1  =8 即 CD=n1=8 对于抛物线 y＝a（x﹣h）2+d，设 CD=n2 因为两个函数的顶点之间的距离是 10， 所以 1012  nn 即 1082 n 所以 182 n 或 22 n 当 n2＝18时，代入①式，则有 24 4 118  a 所以 a= 2 9 .........8分 当 n2＝-2时，代入①式，则有 24 4 12-  a 所以 a= 2 1- .........10分 综上，a= 2 9 或 a= 2 1- ． 第 1页(共 4页) 2024 年秋季学期九年级期中监测试题(数学) (考试时间:120 分钟 满分:120 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡上。 2.考生作答时,请在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡),在本试卷上作答无效。 第 I 卷 一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的, 用 2B 铅笔把答题卡...上对应题目的答案标号涂黑.) 1.亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表所示,其中最低海拔最小的大洲是( ) 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40 A.亚洲 B.欧洲 C.非洲 D.南美洲 2.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响.下列图标中,其文字上方的图案是中心对 称图形的是( ) A. B. C. D. 3.5G是第五代移动通信技术的简称,是最新一代蜂窝移动通信技术,它将带领人类进入新智能时代.5G 网络以每秒 1048576KB以上的速度传输数据,将数据“1048576”用科学记数法表示为( ) A.10.48576 105 B.1.048576 105 C.1.048576 106 D.1.048576 107 4.有一组数据:2,8,6,5,7,这组数据的中位数为( ) A.2 B.5 C.6 D.7 5.已知一次函数 y=﹣2x+4的图象经过点(2,a),则 a的值为( ) A.8 B.﹣1 C.1 D.0 6.在平面直角坐标系中,将点 A(4,2)绕原点逆时针方向旋转 90度后,其对应点 A'的坐标为( ) A.(﹣4,2) B.(﹣2,4) C.(4,﹣2) D.(2,﹣4) 7.已知一元二次方程 x2﹣3x+k=0的两个实数根为 x1、x2,若 x1x2+2x1+2x2=1,则实数 k的值为( ) A.﹣5 B.7 C.﹣1 D.1 8.如图,在菱形 ABCD中,AC=24,BD=18,则 AB=( ) A.15 B.30 C.18 D.13 9.如图,正五边形 ABCDE内接于⊙O,点 P是劣弧 上一点(点 P不与点 C重合),则∠CPD=( ) A.45 B.36 C.35 D.30 10.对于抛物线 5)2(y 2 x ,下列判断正确的是( ) A.抛物线的开口向上 B.对称轴为直线 x=2 C.抛物线的顶点坐标是(﹣2,5) D.当 x>2时,y随 x的增大而增大 11.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路,如果保持上坡每小时走 3km,平路每小时走 4km.下坡每小时 走 5km,那么从甲地到乙地需 54min,从乙地到甲地需 42min.设从甲地到乙地的上坡路程长 x km,平 路路程长为 y km,依题意列方程组正确的是( ) A. 42 45 54 43 yx yx B. 54 45 42 43 yx yx C. 60 42 45 60 54 43 yx yx D. 60 54 54 60 42 43 yx yx 刘徽的割圆术 中国七巧板 杨辉三角 赵爽弦图 (第 8题图) (第 9题图) 第 2页(共 4页) 12.对于二次函数 y=ax2+bx+c( 0 a ),规定函数 y= )0( )0( 2 2 <xcbxax xcbxax 是它的相关函数.已知点 M, N的坐标分别为 )1 2 1( , , ),( 1 2 9 连接 MN,若线段 MN与二次函数 y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个 公共点,则 n的取值范围为( ) A.﹣3<n≤﹣1或 1<n≤ 4 5 B.﹣3<n<﹣1或 1≤n≤ 4 5 C.n≤﹣1或 1<n≤ 4 5 D.﹣3<n<﹣1或 n≥1 第 II卷 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.) 13.若 在实数范围内有意义,则实数 x的取值范围是 . 14.分解因式:x2﹣25= . 15.为了估计池塘里有多少条鱼,从池塘中捕捞了 100条鱼做上标记,然后放回池塘里,经过一段时间等有标记 的鱼完全混合于鱼群中以后,再捕捞 300条.若其中有标记的鱼有 15条,则可估计池塘里有鱼 条. 16.在数学跨学科主题活动课上,芳芳用半径为 15cm,圆心角为 120 的扇形纸板,做了一个圆锥形的生 日帽,如图所示,在不考虑接缝的情况下,这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是 cm. 17.一次综合实践的主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径? 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相 交于 A,B,C,D四点,利用刻度尺量得该纸条宽为 3.5cm,AB=3cm,CD=4cm.请你帮忙计算纸杯的 直径为 cm. 18.如图,已知正方形 ABCD中,AD=6,∠DAE=30 ,点 F为 AE的中点,过点 F作直线分别与 AD、 BC相交于点 M、N,若 MN=AE,则 AM的长等于 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分) 19.(本题满分 6分)计算: 10 34 3 12 . 20.(本题满分 6分)解一元二次方程 x(x+4)=3x+12. 21.(本题满分 10分)如图,在 ABCD中,∠DAB=30 . (1)实践与操作:用尺规作图法过点 D作 AB边上的高 DE;(保留作图痕迹,不要求写作法) (2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求 BE的长. 22.(本题满分 10分)某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数 情况,整理得到如下不完整的统计表和扇形图. (1)本次调查的学生人数为 ,a= ; (2)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况,发现这几人读课外书 的册数恰好相同.将其与之前的数据合并后,发现册数的众数变成了另外一个数, 则补查的人数最少为 . (3)学校举行知识团体比赛,对前两名的班级奖励一套图书,现有 A,B,C三种 图书可供选择.请用列表或画树状图的方法,求两个班级都选择同一套图书的概率. 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 9 x (第 16题图) (第 18题图) (第 21题图) (第 22题图) (第 22题图) (第 17题图) 第 3页(共 4页) 23.(本题满分 10分)对联是中华传统文化的瑰宝.如图 1所示,对联装裱后,上、下空白处分别称为天 头和地头,左、右空白处统称为边.一般情况下,天头长与地头长的比是 6:4,左、右边的边宽相等, 且为天头长与地头长的和的 10 1 ,设左、右边的边宽为 x cm. (1)用含 x的代数式分别表示天头长和地头长. (2)现要装裱一副五言联,该五言联的长为 92cm,宽为 25cm,如图 2 所示,装裱五言联用的卷轴的 长是宽的 4倍.求五言联装裱预留的天头长. (3)如图 3,徐老师裁出两张长方形纸张准备写一副七言联,每张正好划出 7 个正方形方格,正方形 方格的边长为 acm.若装裱用的卷轴长为 190cm,正方形方格的边长比装裱后的边宽大,且两者长度均 为整数,求徐老师裁剪的长方形纸张的长. 24.(本题满分 10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,点 D是⊙O上一点,OD⊥AB,连接 CD交 AB 于点 E,F是 AB延长线上的一点,且 CF=EF. (1)求证:CF是⊙O的切线; (2)若 CF=8,BF=4,求弧 BD的长度. 25.(本题满分 10分)综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图,在 ABC中,点 M,N分别为 AB,AC上的动点(不含端点),且 AN=BM. 【初步尝试】(1)如图 1,当 ABC为等边三角形时,小红发现:将 MA绕点 M逆时针旋转 120 得到 MD,连接 BD,则 MN=DB,请思考并证明; 【类比探究】(2)小明尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图 2,在 ABC中,AB=AC,∠BAC =90 ,AE⊥MN于点 E,交 BC于点 F,将 MA绕点 M逆时针旋转 90 得到 MD,连接 DA,DB.试 猜想四边形 AFBD的形状,并说明理由; 【拓展延伸】(3)老师提出新的探究方向:如图 3,在 ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90 ,连接 BN,CM,请直接写出 BN+CM的最小值. (第 24题图) (第 23题图) (第 25题图) 第 4页(共 4页) 26.(本题满分 10分)在综合实践课上,为了测量抛物线的开口大小,数学探究小组用两个互相垂直的直 尺制作了一个“T”形尺,并用它对二次函数图象的相关性质进行研究.把“T”形尺按图 1摆放,水平宽 AB的中点为 C,图象的顶点为 D,测得 AB为 m厘米时,CD为 n厘米. 【猜想】(1)探究小组先对 y=x2的图象进行多次测量,测得 m与 n的部分数据如表: m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点:以表中各组对应值为点的坐标,在图 2的直角坐标系内描出相应的点. 连线:用光滑的曲线顺次连接各点. 猜想:n与 m的关系式是 . 【验证】(2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究,发现测得的 n与 m也存在类似的关 系式,并针对二次函数 y=a(x﹣h)2+k(a>0)的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法 (在“ ”内打“√”)并补全其推理过程;(根据需要,选用字母 a,m,n,h,k表示答案) 方法 1 方法 2 如图 3,平移二次函数图象,使得顶点 D移到 原点 O的位置,则: , 22 '''',','' mBABCnCDOCmABBA 所以点 'B 坐标为 ; 将点 'B 坐标代入 y=ax2, 得到 n与 m的关系式是 . 如图 4,顶点 D的横坐标加 2 m个单位,纵坐标加 n 个单位得到点 B的坐标, 所以点 B坐标为 ; 将点 B坐标代入 y=a(x﹣h)2+k, 得到 n与 m的关系式是 . 结论:通过探究我们发现:抛物线的开口大小和方向由 决定. 【应用】(3)已知 AB∥x轴且 AB=4,两个二次函数 y=2(x﹣h)2+k和 y=a(x﹣h)2+d的图象都经 过 A,B两点.当两个函数图象的顶点之间的距离为 10时,求 a的值. (第 26题图)