江苏省苏州市张家港市2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试卷

2024-2025学年江苏省张家港市第一学期高二期中调研测试数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于(    ) A. B. C. D. 2.若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率是(    ) A. B. C. 2 D. 3.已知动点M与两定点，的距离之比为，则动点M的轨迹方程为(    ) A. B. C. D. 4.经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.若两直线，平行，则实数a的取值集合是 A. B. C. D. 6.已知圆C的圆心在直线上，并且圆 C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是(    ) A. B. C. D. 7.过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点P平分，则三条直线围成的三角形面积为(    ) A. B. C. D. 8.已知矩形ABCD，，， M为边DC上一点且， AM与BD交于点Q，将沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知棱长为3的正方体，则(    ) A. B. 与所成角的大小为 C. 平面与平面的距离为 D. 平面与平面ABCD所成角的大小为 10.已知直线，圆，则(    ) A. 直线l始终与圆O相交 B. 直线l被圆O截得的弦长最大值为4 C. 若直线l与圆O相交于A，B两点，且，则 D. 若圆O上有且只有四个点到直线l的距离为1，则 11.已知空间四面体OABC，则(    ) A. 当，则点P在平面ABC内 B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为 C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，，，，则三棱锥的体积是__________. 13.圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________. 14.在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆 ①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知直三棱柱，F为BC中点，，与交于点 求证：平面 若是等边三角形且，求证：平面 16.本小题15分 已知的三个顶点是，，，求： 边BC上的中线所在直线的方程; 边BC上的高所在直线的方程; 的角平分线所在直线的方程. 17.本小题15分 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且， 求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值; 求点B到平面PCD的距离; 若点M为平面PBC内的一动点，若平面PBC，求CM与平面ABCD所成角的正弦值. 18.本小题17分 如图，在平行六面体中，，，， 当时，求证：平面 当时， ①求四边形的面积; ②求与平面所成角的余弦值. 19.本小题17分 已知圆内有一点，倾斜角为的直线l过点且与圆O交于两点. 当时，求AB的长； 是否存在弦AB被点三等分？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由； 记圆O与x轴的正半轴交点为M，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，求证：为定值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的基本定理及应用，属于基础题． 由N为BC中点，可得，由M为OA的中点，可得，利用，即可求出结果. 【解答】 解：为BC中点， ， 为OA的中点， ，   故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数图象的平移与变换，属于基础题． 设直线l的方程为，再根据题意对直线l进行变换，即可求解． 【解答】 解：设直线l的方程为，现直线l沿x轴向左平移4个单位长度得，， 再沿y轴向上平移2个单位长度得，， 因为回到原来位置，所以，故 故选： 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查轨迹方程的求法，两点间的距离公式，属于基础题． 设出M的坐标，直接由M与两个定点，的距离之比为，列式整理得方程． 【解答】 解：设，因为点M与两个定点，的距离之比为， 所以， 整理得： 点M的轨迹方程是 故选： 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查直线斜率公式的应用，直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 设直线l的倾斜角为，根据直线l与连接，的线段总有公共点，可得或，即可得到答案. 【解答】 解：如图所示， 设直线l的倾斜角为， 则，， 直线l与连接，的线段总有公共点， 或， 即或， 故选： 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】 解：直线：与：平行， 则，即，解得或， 经检验，当时，直线，重合，不满足题意， 故实数a的值为 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求圆心坐标，属于一般题. 联立两圆方程，求出交点A，B的坐标，得 AB的垂直平分线方程，与直线联立即可求解. 【解答】 解：设圆与圆的交点为A、 联立两圆方程，得，解得，或 不妨记，， 于是AB的中点为， 从而可得AB的垂直平分线方程为，即， 联立与，得，解得，即圆心C为 故选： 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查直线方程及其应用，属于中档题. 设直线 l 夹在直线  之间的线段是 AB  在  上， B 在  上，求出A点坐标，得B坐标，联立两已知直线方程，求出交点C坐标，得，求点A到直线的距离，由三角形的面积公式即可求解. 【解答】 解：设直线 l 夹在直线  之间的线段是 AB  在  上， B 在  上， 设，因为 AB 被点 P 平分， 所以  ，于是  ， 由于 A 在  上， B 在  上， 所以  ，解得  ，即 A   ， 而  ，则， 联立，即与交于点 则， 又点A到直线的距离为， 则三条直线围成的三角形面积为 故选 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查线面夹角，考查学生的空间想象和转化能力，属于较难题. 分析可知，结合垂直关系可知平面PBQ，结合长度关系可知点P在以点Q为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质分析求解. 【解答】 由题意可知：，则，即， 则，，平面PBQ， 所以平面PBQ， 因为AM是确定的直线，可知对任意点P，平面PBQ是同一确定的平面， 因为，， 可知点P在以点Q为圆心，半径为的圆上， 当且仅当PB与该圆相切时，取到最大值，即取到最大值 故选 9.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查空间中线线、面面位置关系、夹角、距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标， A.计算的值，判断直线与是否垂直． 通过向量夹角公式计算能求出直线与所成角； 平面与平面的距离转化为点到面的距离，再利用等体积法求解即可； 通过平面与平面ABCD的法向量求两平面的夹角 【解答】 解：以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 正方体棱长为3， ，，，，， 对于选项 因为，， 所以，A正确 对于选项 所以与所成角的大小为， B不正确； 对于选项 平面与平面平行，两平面的距离可转化为点到平面的距离， ， ，解得 ， C正确； 对于选项设平面的法向量 取 平面ABCD的一个法向量为  ， 所以平面与平面ABCD所成角的大小为不正确. 故D不正确， 故选 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 由直线所过的定点在圆外部即可判断A、B；由题意转化为圆心到直线的距离可求C、 【解答】 解：对于A，直线  ，即  ，则直线 l 恒过定点  ，  直线 l 恒过的定点  在圆  的外部，  直线 l 与圆 O 不一定相交，故选项A错误； 对于B，当直线l经过圆心时，直线l被圆O截得的弦长最大，最大值为4，故选项B正确； 对于C，若直线l与圆O相交于A，B两点，且， 则圆心O到直线l的距离，即，解得，故C正确; 对于D，若圆O上有且只有四个点到直线l的距离为1， 则圆心O到直线l的距离，解得，故选项D正确； 故选： 11.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查空间向量基本定理，空间中直线与直线的位置关系，空间向量的数量积运算，属于中档题. 对于A：根据四点共面的结论分析判断；对于B：将正四面体嵌套在正方体内，结合正方体的性质分析判断；对于C：分类讨论点N是否与点O重合，结合异面直线的判定定理分析判断；对于D：根据空间向量的数量积运算结合向量垂直分析判断. 【解答】 对于A：若，且， 所以四点共面，即点P在平面ABC内，故A正确； 对于B：若该四面体的棱长都为a，可知四面体OABC为正四面体， 将其嵌套在正方体内，如图所示： 可知正方体的棱长为，异面直线OA，BC间的距离即为正方体的棱长，故B正确； 对于C：因为点N在直线OC上， 若点N与点O重合，则，不满足； 若点N与点O不重合，则平面OBC，平面，， 可知为异面直线，不满足； 综上所述：直线OC上不存在点N，使得，故C错误； 对于D：若，， 则， 即， 可得， 所以，故D正确. 故选： 12.【答案】4  【解析】【分析】 本题考查棱锥的体积、空间直角坐标系及点的坐标，属于基础题. 根据题意作出图形，利用棱锥的体积公式，即可求出结果. 【解答】 解：作出图形，如图所示： 则OA，OB，OC两两互相垂直，且，，， 所以三棱锥的体积是： 故答案为： 13.【答案】答案不唯一  【解析】【分析】 本题考查关于点或直线对称的圆的方程、圆与圆的位置关系、圆的公切线，属于中档题. 求出关于直线对称点的坐标，写出圆C的方程，判断出圆O和圆C的位置关系，设与OC平行的公切线方程为，即，利用点到直线的距离关系，即可求出结果. 【解答】 解：设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离， 且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离， 可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 14.【答案】 ；   【解析】【分析】 本题主要考查求圆的方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题． 设所求圆的一般方程为，令，得，这与是同一个方程，故，令，得，此方程有一个根为，代入得出，由此求得圆E的一般方程； 设所求圆的一般方程为，令，得，这与是同一个方程，故，令，得，此方程有一个根为，代入得出，由此求得圆E的一般方程为 ，令可求出两定点的坐标. 【解答】 解：①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 时，或， 故圆E恒过定点， 15.【答案】解：连接， 且， 又在中，， ， 又平面，平面， 平面 直三棱柱， 平面ABC，又平面ABC， ， 又是等边三角形，F为BC中点， ，又，BC，平面， 平面，又平面， 在中，，， 在中，，， ， ，即， 又，，，平面， 平面  【解析】本题主要考查线面平行的判定，线面垂直的判定，属于中档题. 由题意可证，根据线面平行的判定定理可证平面 由题意可证，，利用线面垂直的判定定理可证平面. 16.【答案】解： 记BC的中点为D，因为，，所以，  又因为，所以直线AD的方程为，即.  边BC所在直线的斜率，  因为边BC上的高与BC垂直，所以边BC上的高所在直线的斜率为 又因为边BC上的高经过点， 所以BC边上的高所在直线的方程为即 3由，可得AB的方程为，即 由，可得BC的方程为，即 设的角平分线上的点的坐标为，于是， 整理得：或 经检验不符合题意． 所以的角平分线所在直线为.   【解析】本题考查直线的斜率坐标公式，中点坐标公式，直线方程的求法，点到直线的距离，属于中档题． 求BC边中点的坐标，用两点式写出直线方程； 求BC边所在的直线的斜率，根据垂直直线的斜率关系求BC边上的高所在直线的斜率，用点斜式写出直线方程； 根据设的角平分线上的点的坐标为，于是求出直线方程． 17.【答案】解：平面ABCD，，， 又，所以AB，AD，AP两两垂直， 以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 平面PAB的一个法向量为， 设平面PCD的法向量为，又，， ，，取，所以， ，， 设平面PAB与平面PCD的夹角为，， 所以， ，设点B到平面PCD的距离为d， ， 点B到平面PCD的距离为 为平面PBC内一动点，设， 设，又，，， 代入得，解得点， ，又平面PBC， 且，所以且， 所以，则， 所以，又平面ABCD的一个法向量为， ， 与平面ABCD所成角的正弦值为  【解析】本题主要考查二面角的向量求法，点到平面的距离，线面角，属于中档题. 建立空间直角坐标系，求出两平面PAB与平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式计算可得； 由可得点B到平面PCD的距离; 由平面ABCD的一个法向量为，由，可得CM与平面ABCD所成角的正弦值. 18.【答案】解设，，， 则， 所以，， 所以 ， 所以，即 同理， 又，，平面， 所以平面 ①因为▱ABCD且，， 所以，，又， ， ， 即， 所以， 所以 ②连接，交于点H，连接，AH 菱形，， 又，所以 又，，平面， 所以平面 为与平面所成的角， 又， ， ， 又， ， ， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为   【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角，属于中档题. 利用空间向量数量积可证，得，同理，由线面垂直的判定定理可证平面 ①由可得答案； ②先由已知条件推得为与平面所成的角， 求出，，利用可得解. 19.【答案】解：由于，所以直线l的斜率为，l的方程为， 设圆心O到直线l的距离为d，则， 所以 易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则l的方程为，圆心O到直线l的距离为d， 则 记AB中点为H，由于为AB的三等分点，，有 即 解得， 所以 易知，当直线l的斜率不存在时，，，不妨取，， 则，， 此时 直线l的斜率存在时，设为k，则l的方程为，将代入圆O的方程得，， 设，，则，， ，所以， 综上，为定值  【解析】本题考查直线与圆的位置关系，属于难题. 先求l的方程为，再求圆心到直线的距离，利用求解； 记AB中点为H，先求圆心到直线的距离，利用求解； 讨论直线的斜率，利用韦达定理，利用斜率公式求解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$