精品解析：山东省烟台市2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题

2024～2025学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】由可得， 所以，所以， 或， 所以. 故选：B. 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】主要利用正切函数的性质，即可解答本题. 【详解】当时，； 反之，当时， . 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，然后投影向量的计算公式为，再计算向量在上的投影向量. 【详解】，可得.展开得到. ，则；，则. 将和代入中，得到， 移项可得，解得. 根据投影向量公式，得到. 故选：B 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用抽象函数求定义域的相关概念，即可求解. 【详解】由，得，且，所以，因此， 故函数的定义域为. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式可求出，利用齐次式即可得到结果. 【详解】由得，， ∴. 故选：A. 6. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，求导，得到函数单调性，结合函数为奇函数且，得到在区间上上单调递减，从而得到，求出答案. 【详解】时，，显然， 令得，当得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又是定义在R上的奇函数， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，故在R上为连续函数， 故在区间上单调递减， 又在区间上单调递减， 所以，解得. 故选：C 7. 已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，根据的对称性和单调性解不等式即可得出答案. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以关于对称， 当时，，所以， 所以在上单调递减，因为关于对称， 所以在上单调递增， 由，则，可得：， 即或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】由平面相似可知，， 而 ，所以， 而 ， 即 ． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用作差法结合平方差公式判断A正确；利用不等式的性质可知选项B错误；通分之后判断分子和分母的符号可得选项C正确；举反例说明选项D错误. 【详解】A.，由，得， 因为，所以，即，选项A正确. B.由，，，即，选项B错误. C. 由，得， 因为，所以，选项C正确. D.令，则不成立，选项D错误. 故选：AC. 10. 已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 是函数图象的一条对称轴 C. 若，则 D. 将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式和正弦函数的最小正周期可得，利用代入法验证对称轴及对称中心可判断，利用和差公式及同角关系式计算判断；利用图象平移变换可判断. 【详解】， 又相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，所以， 所以，， 所以函数的图象关于点对称，故正确； ， 所以是函数图象的一条对称轴，故正确； 若，所以， ， 由，可得，所以， 所以或，故错误； 将图象上所有的点向右平移个单位长度， 得，故正确； 故选：. 11. 设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ） A. 任何一个三次函数均有“拐点” B. 函数为区间上的“上凸函数” C. 若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减 D. 若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A 选项：运用拐点概念计算即可； 对于B 选项：对求导，，借助导数研究函数在区间上单调性可判断； 对于C 选项，求导得到，再求导令，得拐点，因为“拐点”在轴右侧，得到.进而得到的递减区间判断即可； 对于D 选项：根据拐点概念，结合“上凸函数”概念，求出,可判断. 【详解】对于A 选项：对于三次函数， ， 再求导得到.令，则，解得， 所以任何一个三次函数均有“拐点”，A 选项正确. 对于B 选项：，， . 当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，B 选项正确. 对于C 选项：，，. 令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即. 令可得，所以， 的递减区间是，C 选项错误. 对于D 选项：， ，. 令，即在有解.即则有正解. 则，解得. 并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减. 恒成立.恒成立，,即， 即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，再将这个值作为自变量代入函数求出的值. 【详解】对于，因为，所以， 根据对数运算法则. 因为，所以. 根据对数运算法则. 故答案为：. 13. 已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】以B为坐标原点，BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，利用向量数量积的坐标运算转化为函数，再求函数的值域解即可. 【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图， 则，，，， 因为点P在边AB上，所以设点P的坐标为， ， 则当时，，即的取值范围为， 故答案为： 14. 函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为_____；若当时，对，，，则a的取值范围为___________. 【答案】 ①. 1（答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可写出的值，由题意得，，结合函数单调性求最值及绝对值不等式即可求解. 【详解】若时，为偶函数，则， 即， 所以或0， 对，，， 所以， 因为时，在上单调递增，所以， 所以，又， 当时，在上单调递增， 所以，即，解得， 当时，在上单调递减， 所以，所以，解得， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，无解， 所以a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，整体法求出函数单调递增区间； （2）求出，数形结合得到，，故，得到答案 【小问1详解】 ， 令，，解得，， 故的单调递增区间为，； 【小问2详解】 ，故， 则， 因为当时，， 所以， 实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； （2）当时，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）设函数在点的切线过点，可得切线方程为，可得，求解可得切线方程； （2）求导得，分，，三种情况讨论可得单调区间. 【小问1详解】 当时，，求导可得， 设函数在点的切线过点，所以， 又， 所以， 又因为切线过点，所以， 所以，解得， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由， 可得， 当时，由，可得或， 所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 当时，由，可得，所以函数在上单调递增， 当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 17. 如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB的中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米） （1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式； （2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小. 【答案】（1）； （2）选，当时,三条道路的总长度最小. 【解析】 【分析】（1）借助等腰梯形的性质和勾股定理，以及锐角三角函数求出关系式即可； （2）运用三角关系式，借助导数研究单调性，进而来求最值即可. 【小问1详解】 如图，过A作于E, 过B作于F,延长交于G. 由于距离C，D两点相等的一点P，则. 根据题意，，，由等腰梯形性质，知道,,在中,求得,且，则. 在中,求得. 故y关于x的关系式为：，即. 在中，，且，则. 并且,则. 则y关于θ的关系式为：，即. 【小问2详解】 用, 求导得到. 令，则，，则. 当,,单调递减； 当,,单调递增； 故当，y取得最小值.且 综上所得，当时,三条道路的总长度最小. 18. 在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，进而可求； （2）由已知可得，计算可得，利用基本不等式可求面积的最大值. 【小问1详解】 由，可得， 所以， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 两边平方可得，又因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 所以面积的最大值为. 19. 已知函数，，. （1）证明：当时，曲线与有且只有两条公切线； （2）若函数与的图象有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1）证明:当时，，，求导得，， 设直线与相切于点，则切线斜率， 直线与相切于点，则切线斜率， 则，整理得， 由题意可得：， 消去可得：， 令，则，则，可得， 令， 要证曲线与有且只有两条公切线，即证在上有且只有两个零点， 求导可得，可得在定义域内单调递增， 且，，故在上有唯一零点，且， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可知的最小值为，又因为， 则，注意到趋近0时，趋近，趋近时，趋近， 所以在和上分别存在一个零点， 故在上有且只有两个零点，故原命题得证. （2） 【解析】 【分析】（1）直线与相切于点，直线与相切于点，进而可得，利用换元法得，构建，利用导数证明在上有且只有两个零点即可. （2）由函数与的图象有两个交点，则有两个不等的实根，可得有两个大于2且不等的实根，变形为，利用函数的单调性可得有两个实根，再换元利用方程有解可求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数与的图象有两个交点，则有两个不等的实根， 因为，所以，所以，所以， 即有两个大于2且不等的实根， 由，可得，所以， 令，求导可得， 所以在上单调递增，所以有两个实根， 令，所以所两个大于1的实根， 两边取对数可得，令，求导可得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以时，， 又当时，，当时，， 所以与在上有两个交点， 则，解得， 所以函数与的图象有两个交点，的取值范围为. 【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 是函数图象的一条对称轴 C. 若，则 D. 将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象 11. 设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ） A. 任何一个三次函数均有“拐点” B. 函数为区间上的“上凸函数” C. 若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减 D. 若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为___________. 13. 已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______. 14. 函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为_____；若当时，对，，，则a的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； （2）当时，讨论函数的单调性. 17. 如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB的中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米） （1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式； （2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小. 18. 在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 19. 已知函数，，. （1）证明：当时，曲线与有且只有两条公切线； （2）若函数与的图象有两个交点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $