第24章 圆（单元测试·基础卷） -2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第24章 圆（单元测试·基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·吉林·期中）平面内，已知的半径是，线段，则点P在（   ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·天津宁河·期末）已知圆的半径为，圆中一条弦长为，则这条弦所对的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·四川达州·一模）一个正六边形的边长为6，则它的边心距是（   ） A．3 B． C． D．12 8．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 10．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，的半径弦于点E，C是上一点，，的最大值为18，则的长为（    ）    A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 12．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，是半圆的直径，，为的中点，连接，，则的度数为 ． 13．（2022·湖北省直辖县级单位·二模）如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ． 14．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为 ． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是 ． 17．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．    18．（2022·山东临沂·一模）阅读理解：如图1，与直线a，b都相切，不论如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变（等于的半径），我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及就是利用这种方法将巨石推到金字塔顶的． 拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”．如图4，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于4cm，则莱洛三角形的周长为 cm． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）19．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．（本小题满分8分）（2024·甘肃兰州·一模）如图，在中，，与相切于点A，与相交于点C，延长交于点D，连接． (1)求的大小； (2)当时，求的长． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．   (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 22．（本小题满分10分）（2024·湖北襄阳·一模）在中，弦． (1)如图1，比较与的长度，并证明你的结论． (2)如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．   (1)求证：点B在上． (2)当点D移动到使时，求的值． (3)求证：． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C D D C B B D 1．A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内，根据点与圆的位置关系的判定方法对点P与的位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径是，线段， ∴点P到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在外． 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于，根据垂径定理有，，因为、都为圆的半径，可得，不能得出． 【详解】解：∵， ∴，，所以A选项、B选项正确，不符合题意； 只有当垂直平分时，，所以C选项符合题意； ∵、都为圆的半径， ∴，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定，圆心角．熟练掌握等边三角形的判定，圆心角的定义是解题的关键． 由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形，进而可求答案． 【详解】解：由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵是的切线， ∴， ∴，故C不符合题意； 如图，∵， ∴， 而， ∴， ∴不能推出，故D符合题意； 故选D 6．D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，可求的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查正多边形和圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，易得为等边三角形，利用三线合一和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，正六边形的中心是O，一边是，过O作与G， 则：，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴，即边心距是； 故选C． 8．B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 9．B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 10．D 【分析】连接，根据垂径定理得，设半径为，根据当，，在同一条直线上时最长得到，在中，根据勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    的半径弦于点，， ， 设半径为， 可知当，，在同一条直线上时最长， 即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ， 故选D． 【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是利用垂径定理得，属于中考常考题型． 11．相切 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的特征，直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离，掌握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键．过点O作于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，得到，由的半径为2，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，， ， 的半径为2， 与射线的位置关系为相切， 故答案为：相切． 12． 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，圆周角定理；根据题意得出，进而根据圆周角定理得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：． 13．8 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：∵C是的中点， ∴，而， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 所以四边形的周长等于8． 故答案为：8． 【点拨】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 14．2 【分析】连接，由勾股定理的逆定理求得是直角三角形，根据面积关系，即可求得半径． 【详解】解：如图，连接， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵为的内切圆，切点分别为D、E、F， ∴，且， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：2． 15．/26度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故答案为：． 17．/ 【分析】连接，，运用勾股定理分别算出，再结合计算即可．本题考查扇形的面积、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接，．    在中，，， ， ∴，则， ∵是直径， ∴， ， ∵O是的中点， ∴是的中线， ∴， ， 故答案为． 18． 【分析】由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=4cm，即可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，因此可知在以点C为圆心、4为半径的圆上，根据弧长公式可求得的长，莱洛三角形的周长为3段等长的弧，据此即可求解 【详解】由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=4cm， ∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， 在以点C为圆心、4为半径的圆上， 的长为，则莱洛三角形的周长为×3=4π， 故答案为4π． 【点拨】本题考查了新定义问题求弧长，理解题意牢记弧长公式是解题的关键． 19．(1)证明见解析 (2)的半径是5． 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 20．(1) (2) 【分析】（1）由切线的定义得出，则，，结合，由三角形内角和定理则可以求出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，证明为等边三角形，再由含直角三角形的性质得出，进而可得出，，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， （2）连接，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了切线的定义，三角形内角和定理，直径所对的圆周角等于，等边三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这写性质是解题的关键． 21．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 22．(1)，理由如下 (2) 【分析】（1）可求得，结合即可求得答案； （2）可先求得，进而可知，，根据勾股定理可求得圆的半径长度，结合即可求得答案． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴． ∴． ∴． （2）如图所示，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴． ∴． ∵为的直径， ∴． ∴． ∴． ∴，． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∴． 设， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质，牢记圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 23．(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）根据题意得，，即可证明； （2）连接，和，由题意得，求得，有，在中，，即可求得答案； （3）分别作，交于点，连结，由题意得，，根据同弧所对圆周角相等得，有，由，得，由，得，则，得，，由题意得，，得，有，在中，有成立，即可证得结论成立． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴点B在上． （2）连接，如图，    ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∵， ∴， （3）分别作，交于点，连结，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即． 【点拨】本题属于圆综合题，考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 24．(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明． （2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得． （3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得． 【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， （2）由（1）可知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （3）连接，如图， ∵，且以为直径 ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【点拨】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$