江苏省苏州市昆山、太仓、常熟、张家港四市2024-2025学年八年级上学期期中阳光测评数学卷

2024~2025 学年第一学期阶段性学业水平阳光测评 初二数学 2024.11 (满分 130 分，时长 120 分钟) 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用 2B 铅笔涂在答．题．卷．相．应．的．位．置．上．。 1. 下列实数中是无理数的是 2. 若点 P(m 1, m 1) 在第三象限，则m 的值可以是 A.－2 B.－1 C. 0 D. 1 3. 如图，己知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交 AB 于点 D。若∠A=40°，则∠DCB 的度数为 A.15° B.20° C.40° D.50° 4. 下列各式计算正确的是 A. ( 36 ) 6 B. 6 C. 6 D. 6 5. ( 36 ) ( 36 ) ( 36 )以下列各选项中的三个数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是 1 1 1 A.2、3、4 B.9、12、15 C.32、42、52 D. 、 、 3 4 5 6. 我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就。图 1 为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形。图 2 为其示意图。在△ABC 中，AB=AC，若 D 是 BC 边上的一点，则下列条件不能说明 AD⊥BC 的是A.BD=CD B.∠ADB=∠ADC C.∠BAD=∠CAD D.BC=2AD 7. 小颖和她爸爸利用国庆长假到某一景区游玩，小颖的汽车先在市区道路上匀速行驶了 15 千 米后进入高速公路，在高速公路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶 0.5 小时 到达景区。已知汽车在市区道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的 2 倍，在平面直角坐标系中，汽车行驶的路程 y(单位：千米)与行驶的时间 x(单位：小时)之间的关系如图所示，以下说法正确的是 ①汽车在乡村道路上行驶速度为 30 千米/小时 ②汽车在高速公路上行驶速度为 120 千米/小时 ③汽车在高速公路上行驶的时间 2 小时 ④汽车行驶的总路程为 255 千米 A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 8. 如图，在△ABC 中，∠B=105°，∠C=35°，M 是 AB 边中点，N 是 AC 边上任意一点，将 △AMN 沿直线 MN 翻折，使点 A 关于直线 MN 的对称点 D 落在直线 BC 上。则∠DNC 的度数为 A.70° B.80° C.70°或 110° D.80°或 110° ( ( 5) 2 )二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。请将答案填在答．题．卷．相．应．的．位．置．上．。 9. 计算： . 10. 在平面直角坐标系中，若点 P(a, a 3) 在 x 轴上，则 a 的值为 . ( 2 )11，写出一个比 大且比 小的整数 . ( 17 )12.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=3∠B、则∠B 的度数为 . 13.若2( x2 1) 18 ，则 x . 14. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D、交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交BC 于点 F，交 AC 于点 G，连接 AD，AF。若 BC=6，BD=2，∠DAF=90°，则 DF 的长为 . 15. 如图。在钝角三角形 ABC 中，∠CAB=15°，AB=2，点 D 是 AB 边上任意一点，点 E 是 AC 边上一动点，当 DE+BE 取得最小值时，AD 的长为 . 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别为(0，3)，(6，3)，点 C 从点 A 出发沿 AB 以 1 个单位每秒的速度向终点 B 匀速运动(不与点 B 重合)，同时，点 D 从点 A 出发以相同的速度沿 y 轴正半轴匀速运动，两个点的运动时间为t 秒( t 0 )。过点 C 作 CE⊥x 轴， 垂足为 E，连接 BE，在 x 轴上找一点 F(点 F 在点 E 右侧)使 BF=BE。连接 DC 并延长交 x 轴于点 H，若点 H 始终在点 F 的左侧，则t 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 11 小题，共 82 分。把解答过程写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。 ( 16 ) ( 3 8 )17.(本题满分 5 分) 计算： (2 18.(本题满分 5 分) 2 )0 . 如图，在平而直角坐标系中，点 A 坐标为(3，0)，点 B 坐标为(0，2)，点 C 坐标为(2，4)。求四边形 OACB 的面积. 19.(本题满分 6 分) 已知 5x－1 的算术平方根为 2，x+3y+4 的立方根是－1。求 x－4y 的平方根. 20.(本题满分 6 分) 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上中点，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，交AC 于点 F，连接 BE。求证：AE=BE. 21.(本题满分 6 分) 弦图(图 1)，在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形， 2002 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了 数学研究中的继承和发展。在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将 4 个直角边长为 a、b，斜边长为 c 的直角三角形(图 2 中涂色部分)拼成如图所示的五边形。通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理，请利用图 2 完成勾股定理的验证。 22(本题满分 8 分) 已知，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限，且到 x 轴的距离为 2。到 y 轴的距离为 3。(1)点 A 坐标为 ； (2)点 B 与点 A 关于 y 轴对称，连接 AB，点 C 在直线 AB 上方且点 C 坐标为(2，m)， 若△ABC 的面积为 12，求 m 的值。 23.(本题满分 8 分) 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°。 (1) 尺规作图：在△ABC 的 BC 边上找到点 D，使得点 D 到 AB 的距离等于 CD； (请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若 AC=3，BC=4，求 CD 的长。 24.(本题满分 8 分) 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，连接 DC。 (1)AB= ； (2) 已知，直线 MN 垂直平分 AC 分别交 AB、AC 于点 D、点 E，若点 F 从点 C 出发沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 匀速运动，设运动时间为t 秒，连接 DC、DF，在点 F 运动过程中，△DCF 能否为以 CF 为腰的等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能， 请说明理由。 25.(本题满分 10 分) 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”，构造勾股数，就是要寻找 3 个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和(或平方差)等于第三个数的平方”，即满足以下关系： ( )2+( )2=( )2；① 或( )2－( )2=( )2；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： (x+y)2+( x－y)2=4xy；③ 如果等式③的右边也能写成“( )2”的形式，那么它就符合②的关系。 因此。只要设 x=m2，y=l，③式就可化成：( m2+l)2－(m2－l)2=(2m)2，于是，当 m 为大于 1 的正整数时，“m2+l，m2－l 和 2m”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数. (1) 当 m= 4 时，该组勾股数是 ； (2) 若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为 16，求 m 的值； (3) 若一组勾股数中最大数是 a²+6a+0(a 是任意正整数)，则另外两个数分别为 ， 。(分别用含 a 的代数式表示)。 26.(本题满分 10 分) 【问题回顾】我们知道。有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)。其证明方法：如图 1，在△ABC 中，∠B=∠C，作顶角∠BAC 的平分线 AD，交 BC 边于点 D。利用“AAS”可以证明△ABD≌△ACD，可得 AB=AC。其本质是利用了图形的轴对称性 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”转化成数学符号语言为： (1) 已知：在△ABC 中，∠ACB>∠B。求证：AB>AC。 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明。作 BC 的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 DC(如图 2)。请你帮助数学兴趣小组完成证明。 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： (2) 已知，△ABC 中，AC=3，BC=5，且∠C>∠A>∠B，则 AB 边的取值范围为 ； (3) 已知，如图 3，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E 为 AC 边上任意一点(不与点 A，点C 重合)，连接 BE 交 AD 于点 F。 求证：BF>FE。 27.(本题满分 10 分) 如图，在平面直角坐标系中，点 A，点 B 分别为 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上两点。以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，使点 C 在直线 AB 下方。 (1) 若点 A 坐标为(6，0)，点 B 坐标为(0，2)，则点 C 的坐标为 ； (2) 若 OA－OB=8，求出点 C 的坐标； (3) 若 AB=4，△AOB 面积为 3，求出点 C 的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $$初二数学参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A B A B D C 二、填空题（每小题3分，共24分） 9.5 10.3 11.2(3或4) 12.36 13.而 14月 15.5 160号 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17。解：原式=1+4-24…3分 =34 5分 18.解：连接OC ,点A坐标为(3,0)， .0A=3. 中年444年年中年年4年年非年年年年中中中40年4卡年年：：。年年年年年44】分 :点B坐标为(0,2)， OB=2.4…2分 ,点C坐标为(2,4)， 1 5ac=2x3x4=6, …3分 3amx=×2x2=2. 4分 2 ,∴.四边形O4CB的面积=2+6-8. 小小…5分 19.解：，5x-1的算术平方根为2， ∴5x-1=4,解方程，得x=1. …2分 ,x+3+4的立方根是-1， x+3y叶4一1，解方程，得=一2.……4分 土√公-4y=+8=t3.4…6分 20.证明：连接EC ,AB=AC,点D是BC边上中点， AD1BC.…2分 ∴.AD垂直平分BC. ..EC-EB. …3分 ,EF垂直平分AC, ..EC=EA. 5分 ∴AE=BE. ……6分 21.证明： 五边形面积可表示为2+bx2=2+b. …2分 五边形缅积也可表示为二a(2a+b)+二b(2b+a)=a2+b+ab.…4分 2 ∴.c2+ab=a2+b2+ab. …5分 .a2+b2=c2. 6分 22.解：(1)A(-3,2): …2分 (2),点B与点A关于y轴对称， 点B坐标为(3,2). …3分 B=6.…4分 :点C坐标为(2，m)且点C在AB上方， 点C到B距离为m一2。… …5分 ,△ABC的面积为12， …7分 解方程，得m=6. 8分 23.解：(1)尺规作图正确， 2分 点D字母标正确： …3分 (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°. AC=3,BC-4, MB-5,Sc=2x3x4=6 …4…5分 ,点D到AB的距离等于CD, 1 ∴SBc=54ACCD+5AB.CD 2 -3CD+CD=4CD. 3 2 .4CD=6. 7分 解方程，得QD- 8分 24.解：(1)AB=10:…2分 (2),MN垂直平分AC, .DA=DC. ∴∠A=∠DCA. ,∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90°， ∠DCA+∠DCB=90°. ∴∠B=∠DCB ..DC=DB. ,AB=10, ∴.DC=5. ………3分 ①当CD=CF时，CF=CD=5, …分 ②当FC=FD时，过点D作DH⊥CF,垂足为H ,DB=DC,DH⊥CF :.CH=-BC=3. 在Rt△DCH中，∠DHC=90°， ,DC-5,CH=3, M D ∴.DH=4. …6分 设FC=FD=x,则FHx3. 在Rt△DFH中，∠DHF=90° 42+c-3)2=x2. 解方程，得x=2 7分 6 1=22= 25 6 8分 12 综上所述：1的值为1=三或1=2兰 12 25.解：(1)8,15,17 2分 (2)由题意可得，该组勾股数中最大的数为m2+1. ①若最小的数为m2-1. 由题意，得m2+1+m2-1=16。…3分 解方程，得m=√尽。 ,勾股数为正整数，∴m=士5不符题意，舍去。…5分 ②若最小边为2m. 由题意，得m2+1+2m=16. 6分 解方程，得m=3或m=-5(不符合题意，舍去) 综上所述：m的值为3. 8分 (3)2a+6,a2+6a+8. 10分 26.证明： (1),DE垂直平分BC ∴.DB=DC 分 在△ADC中 .AD+DC>AC. ..AD+DB-AC. 即：AB>AC. …3分 (2)5<BC8: 5分 (3)在AB上截取AHAE,连接FH ,AD平分∠BAC ∴.∠HAF=∠EAF. 在△AHF和△AEF中 HA=EA E ∠HAF=∠EAF AF=AF B D C ∴.△AHF≌△AEF(SAS). 6分 ∴.HF=EF,∠HFA=∠EFA. 7分 .'∠HBF=∠BFD-∠HAF ∠BFD=∠AFE, ∴.∠HBF=∠HEA-∠HAF ,∠BHF=∠HEA+∠HAF, ∴.∠BHF>∠HBF. …9分 ∴.BF>HF ∴BF>FE. 10分 27.解：(1)C(2,-2): 2分 (2):点C在直线AB下方且OA>OB, 点C在第四象限. 过点C作CD⊥x轴，垂足为D,过点C作CE⊥y轴，垂足为E, 连接0C :CD⊥x轴，CE⊥y轴， ∴.∠ECD=90°. ∠ACB=-90°， ∴∠BCE=∠ACD. :CD⊥x轴，CE⊥y轴， ∴.∠CEB-=∠CDA-90 在△BCE和△MCD中 I∠ACD=∠BCE. ∠CDA=∠CEB, CA=CB, ∴.△BCE≌△ACD(AAS). …3分 ∴，DA=BE,CD=CE. CD⊥x轴，CE⊥y轴， ∴.OC平分∠DOE. ∴.△OCE,△ODC为等腰直角三角形. ∴.OE-EC-CD=OD 设OE=OD=x,则AD=OAx,BE=OB+x. .'OA-OB-8, .(AD+x)-(BE-x8. 5分 4. ∴.点C坐标为(4，-4). ……6分 (3)AB-4, .02+OB2=16. ,△AOB面积为3， ∴.OAOB■6. ∴.OA-OB=2或OA-OB=-2, …8分 由(2)可知： 当OA-OB=2时，=1，点C坐标为(1，-1)…9分 当0A-0B=-2时，x=-1.点C坐标为(-1,1)…10分 .点C坐标为(1，-1)或(-1,1). 11