精品解析： 内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗联盟校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期10月考试 九年级(数学)试卷 满分：100 分 时间：100 分钟 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； C、是分式方程，故不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故符合题意． 故选：D． 2. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解． 【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根， ∴4+2b-c =0， ∴2b-c =-4． ∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解． 3. 设是拋物线上的三点，则的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可． 【详解】解：∵，，是抛物线上的三点， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 4. 形状、开口方向与抛物线相同，但是顶点为的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质．设所求抛物线的解析式为，根据抛物线的形状与开口方向状、开口方向与抛物线相同，得到，再根据顶点坐标可得，，即可解答． 【详解】解：设所求的抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线形状相同，开口方向相同， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴，， ∴该抛物线的解析式为． 故选：B． 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解： A．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； B．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； C．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； D．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，符合题意． 故选∶D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 7. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解． 【详解】∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴=====-1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键． 8. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 9. 已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线，③其图象顶点坐标为，④当时，y随x的增大而增大，⑤图象与y轴的交点为，其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断即可得；掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大； 故②错误，③错误，④正确； ∵， ∴此抛物线图象的开口向上， 故①正确； 当时，， ∴图象与y轴的交点为， 故⑤正确； 综上，①④⑤正确，正确的个数有3个， 故选：C． 10. 如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和图形中的数据，用圆的面积减去正方形的面积等于圆内可种植的面积，列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，某小区规划在长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的3条小路，使某中两条与平行，一条与平行，其余部分种草，若使草坪的面积为，问小路应为多宽_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．设小路应为米宽，根据使草坪的面积为，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：设小路应为米宽，根据题得， 解得：舍，． 答：小路应为米宽． 故答案为． 14. 若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为____． 【答案】m＞﹣1 【解析】 【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）， ∴顶点坐标为（2，m+1）， ∵顶点在第一象限， ∴m+1＞0， ∴m的取值范围为m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 15. 若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．①②通过根的判别式进行判断，③④结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故①错②正确； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故③正确； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为 ∴方程有两个异号实数根，故④正确． ∴正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 16. 已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为1， 当时，函数有最大值，最大值为：， ∴的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题（共6题，共52分） 17. 选择合适的方法解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的各个方法并能选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先整理原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴． 18. 先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 19. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根． （1）求m的取值范围． （2）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值； 【答案】（1）m≥2（2）6 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出x1＋x2＝2（m＋1）、x1•x2＝m2＋5，结合m的取值范围即可得出m的值． 【详解】解：（1）由题意得△＝4（m＋1）2−4（m2＋5）≥0， 解得：m≥2； （2）由题意可知：x1＋x2＝2（m＋1），x1x2＝m2＋5， 由（x1−1）（x2−1）＝28得： x1x2−（x1＋x2）＋1＝28，即m2−2m−24＝0， 解得：m＝6或m＝−4， 由（1）知m≥2， ∴m＝6． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个实数根找出Δ＝8m−16≥0；（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 21. 如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． （1）的长为 米（用含x的代数式表示） （2）若仓库的面积为150平米，求； （3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）米 （3）解：不能，理由： 根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 【解析】 【分析】（1）因为设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； 【小问3详解】 略 22. 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． （1）求直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）当自变量x满足什么条件时，有? 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）根据二次函数的对称性和点A的坐标求出点B的坐标，然后求出AB，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：(1)由知抛物线顶点C(-1，0)， 令x＝0，得， ∴． 将点A、C的坐标代入直线解析式得，， 解得， 所以，直线AC的解析式为； （2）∵顶点坐标为（-1，0）， ∴对称轴为直线x=-1， ∵AB⊥y轴， ∴点A、B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为（-2，）， ∴AB=2， ∴△ABC的面积=； （3）由图可知，x＜-1或x＞0时，y1＞y2． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握各性质与待定系数法求函数解析式是解题的关键，难点在于（2）求出点B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期10月考试 九年级(数学)试卷 满分：100 分 时间：100 分钟 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 3. 设是拋物线上的三点，则的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 4. 形状、开口方向与抛物线相同，但是顶点为的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是( ) A. B. C. D. 7. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 9. 已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线，③其图象顶点坐标为，④当时，y随x的增大而增大，⑤图象与y轴的交点为，其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：______． 12. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 13. 如图，某小区规划在长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的3条小路，使某中两条与平行，一条与平行，其余部分种草，若使草坪的面积为，问小路应为多宽_______ 14. 若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为____． 15. 若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是__________． 16. 已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为______． 三、解答题（共6题，共52分） 17. 选择合适的方法解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 19. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根． （1）求m的取值范围． （2）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值； 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21. 如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． （1）的长为 米（用含x的代数式表示） （2）若仓库的面积为150平米，求； （3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 22. 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． （1）求直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）当自变量x满足什么条件时，有? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $