精品解析：上海市奉贤区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024学年第一学期八年级数学学科期中练习卷 （完卷时间：100分钟，满分：100分） 试卷说明：1、本试卷含四个大题，共27题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2、本试卷中每道选择题只有一个正确答案； 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （常数） 2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 下列关于x的方程一定有实数解的是（ ） A. B. C. (b为常数) D. (b为常数) 4. 已知和点是直线上两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（ ） A B. C. D. 无法判断 5. 下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径 （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间 （4）长方形的面积一定时，长和宽 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形，再分别以，为边坐另一边长为5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程　　的解 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 函数的定义域是 ____． 8. 的有理化因式可以是 ___． 9. 不等式解集是 ___________． 10. 在实数范围内分解因式：________． 11. 已知函数，那么=_________． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______ ． 13. 如果正比例函数 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k是____． 14. 如果直线的图像与的图像有公共点，那么的取值范围是____． 15. 某地2024年4月份的房价平均每平方米为40100元，该地2022年同期的房价平均每平方米为39800元．假设这两年该地房价的平均增长率为x，根据题意可列出关x的方程为____． 16. 如图，正方形，的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在上，点B、E在函数的图象上，则点E的横坐标是____． 17. 对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则____． 18. 平面直角坐标系中，点A坐标为，点B与点A关于原点对称，将点B沿轴向右平移个单位后恰好落在反比例函数的图像上，则的值为____． 三、简答题（每题6分，共36分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 用配方法解方程：． 22. 解方程：． 23. 已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 24. 已知关于x的方程. （1）求证：无论k取何实数，这个方程总有实数根； （2）当等腰三角形ABC的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长. 四、解答题（第25题6分，第26题6分，第27题10分，共22分） 25. 如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且． （1）求证：； （2）求证 ：． 26. 如图,用总长为80米的篱笆,在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD ,花圃中间有一条2米宽的人行通道,园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域,鲜花种植总面积为192平方米,花圃的一边靠墙,墙长20米,求AB和BC的长. 27. 如图，在直角坐标系中，位于第一象限，两条直角边、分别平行于x轴、y轴，点A的坐标为，，． （1）求直线表达式； （2）若反比例函数的图象经过点A和点P，使，求点P的坐标； （3）在边有一点M，且，连结并延长至N，使，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期八年级数学学科期中练习卷 （完卷时间：100分钟，满分：100分） 试卷说明：1、本试卷含四个大题，共27题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2、本试卷中每道选择题只有一个正确答案； 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟记一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、化简后是，是一元一次方程，则此项不符合题意； B、是一元二次方程，则此项符合题意； C、中是分式，则不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A. 和 是同类二次根式，故该选项符合题意； B. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D. 和，不同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 3. 下列关于x的方程一定有实数解的是（ ） A. B. C. (b为常数) D. (b为常数) 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意； B、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意； C、 (b为常数)的判别式为：，方程不一定有实数解，不符合题意； D、 (b为常数)的判别式为：，方程一定有实数解，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查一元二次方程实数根的情况，正确利用根的判别式进行判断是解题关键． 4. 已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，熟记正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数，y随x的增大而减小即可判断． 【详解】∵直线中， ∴y随x的增大而减小， 又∵和点是直线上的两个点,且， ∴， 故选：A． 5. 下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径 （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间 （4）长方形的面积一定时，长和宽 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数，理解相应函数意义和相应的关系式是正确判断的前提． 分别得出四个问题中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数的个数即可． 【详解】解：（1）圆的周长C与半径R之间的关系为：是正比例函数； （2）正方形的面积S与边长a的关系为：不是正比例函数； （3）速度一定，路程S与时间t之间的关系为：是正比例函数； （4）长方形的面积一定时，长和宽的关系为：不是正比例关系； ∴是正比例函数的有（1）（3），共2个， 故选：C． 6. 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形，再分别以，为边坐另一边长为5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程　　的解 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知正方形ABCD面积为，长方形BCEI，DCGH的面积均为5x，正方形面积为25，列出方程即可解答. 【详解】正方形面积为，长方形BCEI，的面积均为，正方形面积为25，四者面积之和为与四边形AIFH面积相等， 所以，整理得 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 函数的定义域是 ____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由， ∴，解得：， 故答案为：． 8. 的有理化因式可以是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式进行有理化即可得． 【详解】解：因为， 所以的有理化因式可以是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键． 9. 不等式的解集是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可得． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 10. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解． 【详解】解：时，， ， 故答案为：． 11. 已知函数，那么=_________． 【答案】2. 【解析】 【分析】将x=代入中即可求解． 【详解】解：当x=时，. 故答案为2. 【点睛】本题考查求函数值；解题关键是能够理解f（x）中x与的关系． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 化为一般式为：， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 13. 如果正比例函数 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k是____． 【答案】1或2 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时，函数的图象在二、四象限是解答此题的关键． 先根据正比例函数的图象在第二、四象限内可得出关于的不等式，求出的取值范围即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象在第二、四象限内， ，解得． 为正整数， 或2， 故答案为：1或2． 14. 如果直线的图像与的图像有公共点，那么的取值范围是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，一元二次方程根的判别式． 把代入，得方程，再根据直线的图像与的图像有公共点，则，又，求解即可． 【详解】解：把代入，得 变形得：， ∵直线的图像与的图像有公共点， ∴方程有实数根， 当，即：时，方程化为，方程无实数根，不符合题意； 当时， 方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， 解得：， ∵当， ∴． 故答案为：． 15. 某地2024年4月份的房价平均每平方米为40100元，该地2022年同期的房价平均每平方米为39800元．假设这两年该地房价的平均增长率为x，根据题意可列出关x的方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 若设房价平均每年增长率为，根据增长后的量增长前的量增长率）即可列出方程． 【详解】解：设房价平均每年的增长率为， 根据题意，得． 故填空答案：． 16. 如图，正方形，的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在上，点B、E在函数的图象上，则点E的横坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题的解法：先设某些点的坐标，再利用几何性质表示其他点的坐标或求其他图象的解析式，然后再利用几何性质建立等量关系求未知字母的值． 先根据正方形的性质设点坐标为，则，解得，即，再设点坐标为，得到，解得，即可求得点的横坐标． 【详解】解：设点坐标为， ，解得，负值舍去， ∴， 设点坐标为， 而点在函数的图象上， ，解得， 而， ， 点的横坐标． 故答案为：． 17. 对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则____． 【答案】或30 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义运算，理解新定义是解题的关键，注意分类讨论． 用因式分解法求出一元二次方程的解，再分类讨论即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴或， 当，时， ； 当，时， ． 故答案为：或30． 18. 平面直角坐标系中，点A坐标为，点B与点A关于原点对称，将点B沿轴向右平移个单位后恰好落在反比例函数的图像上，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特点，关于原点对称点的特征，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加．先求出，则平移后，再将其代入，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 则点B沿轴向右平移个单位后为， ∵平移后的点落在反比例函数的图像上， ∴将代入得：， 解得：， 故答案为：． 三、简答题（每题6分，共36分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法，完全平方公式，分母有理化进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 20. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】系数先除后乘，被开方数也是按这个顺序运算，把除法化为乘法求出最后结果． 【详解】解：原式＝12a÷3b2 ＝ ＝ ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，掌握计算时先乘除，后化简，运算顺序是解题关键． 21. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先方程两边同除以2，再利用完全平方公式进行配方，利用配方法解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， 所以方程的解为． 22. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．本题先利用平方差公式进行因式分解，再利用因式分解法即可求解． 【详解】解： 或 解得：． 23. 已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 24. 已知关于x的方程. （1）求证：无论k取何实数，这个方程总有实数根； （2）当等腰三角形ABC的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）的周长为10,解题过程见解析 【解析】 【分析】（1）整理成一般形式，根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，所以只需证明即可； （2）分，两边长b、c有一边是4，利用等腰三角形的性质与三边关系探讨得出答案即可． 【小问1详解】 证明：方程整理成一般形式为， ， ∴无论k取什么实数值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：当时，， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当两边长b、c有一边是4时，， 解得：， 关于x的方程即， 解得：或， 等腰的三边长为2、4、4， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．解题的关键是在求等腰三角形的周长时，要分类讨论． 四、解答题（第25题6分，第26题6分，第27题10分，共22分） 25. 如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且． （1）求证：； （2）求证 ：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，即可用定理得出结论； （2）由，得，再由等边三角形的性质证明，即可由平行线的判定定理得出结论． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， 小问2详解】 证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ； 26. 如图,用总长为80米的篱笆,在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD ,花圃中间有一条2米宽的人行通道,园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域,鲜花种植总面积为192平方米,花圃的一边靠墙,墙长20米,求AB和BC的长. 【答案】AB=12m，BC=18m. 【解析】 【分析】设AB=x，则BE=，根据鲜花种植总面积为192平方米及矩形的面积得到一元二次方程即可求解. 【详解】设AB=x，则BE=， ∴ 解得x1=8,x2=12, 当x=12时，BE=8，∴BC=2×8+2=18＜20，符合题意； 当x=8时，BE=12，∴BC=2×12+2=26＞20，不符合题意，舍去； 故AB=12m，BC=18m. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系列出方程求解. 27. 如图，在直角坐标系中，位于第一象限，两条直角边、分别平行于x轴、y轴，点A的坐标为，，． （1）求直线表达式； （2）若反比例函数的图象经过点A和点P，使，求点P的坐标； （3）在边有一点M，且，连结并延长至N，使，求点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）设反比例函数，把点坐标代入反比例函数，求得，再设点P坐标为，根据， ，所以，则，求解即可求解． （3）过点N作轴，交y轴于D，延长交x轴于F，交于E，连接，先求出，再由直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出，则，然后证明是的中位线，求得，从而得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵AB平行于y轴，点A的坐标为，， ∴， 设直线OB解析式为， 把代入，得， ∴直线OB解析式为； 【小问2详解】 解：设经过点A、P的反比例函数解析式为， 把代入，得， ∴经过点A和点P的反比例函数解析式为， 设点P坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：过点N作轴，交y轴于D，延长交x轴于F，交于E，连接，如图， ∵，， ∴， ∵轴，轴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵点N在第四限， ． 【点睛】本题考查待定系数法求正比例和反比例函数的解析式，反比例函数的图象性质，坐标与图形，三角形的面积，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线性质，正确作出图形和辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$