上海市桃浦中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

1 上海市桃浦中学 2024 学年第一学期高二年级 数学学科期中试卷 (满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共 12 小题,1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分. 1.用数学符号语言表示“点 A在直线 l外,直线 l在平面 上”:_. 2.若 a,b是异面直线,直线 c / / a,则 c与 b的位置关系是_. 3.“直线 l与平面 无公共点”是“直线 l不在平面 上”的_条件.(从“充分不 必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 4.如果直线 OA//O1A1,直线 OB//O1B1,∠AOB= 3 ,则∠A1O1B1=_. 5.如果直线 l与平面 所成的角为 3 ,那么直线 l与平面 内的直线所成的角的取值 范围是_. 6.由一条直线和直线外的 3个点可确定平面的个数最多为_个. 7.在四面体 ABCD中, 8AB , 6CD ,M 、N 分别是BC、 AD的中点,且 5MN , 则 AB与CD所成角的大小是_. 第 7题图 第 8题图 8.已知一个 ABC利用斜二测画法画出直观图如图所示,其中 B′O′=2,O′C′=5,O′A′=3, 则原 ABC的面积为 . 9.正三角形 ABC的边长为 2,P是三角形 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,且 PA=1,则 P到 BC的距离为_. 10.三角形 ABC的一条边 AB在平面 内,∠A= 2 ,AB=a,AC= 2a,若 AC与平面 所成角为 4 ,则直线 BC与平面 所成角的大小为_. 11.如图,矩形 ABCD的 AB=2,宽 AD=x,若 PA⊥平面 ABCD,矩形的边 CD上至少 有一个点 Q,使得 PQ⊥BQ,则 x的范围是_. 2 第 11题图 第 12题图 12.在平面几何里,有勾股定理“设 ABC 的两边 ,AC AB互相垂直,则 2 2 2AB AC BC ”, 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,在如图2的几何体 A BCD 中,若 , ,AB AC AD两 两互相垂直,则有_. 二、选择题(本大题满分 18 分)本大题共 4 小题,13-14 题每题 4 分,15-16 题每题 5 分. 13.下列命题中是真命题的是( ) A.四边形一定是平面图形 B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C.一个平面的面积可以为 10 2km D.相交于同一点的四条直线最多可以确定 6个平面 14.已知 ,l m是两条不同的直线, 是一个平面,以下命题正确的是( ) A.若 l , l m ,则m B.若 l , / /m ,则 l m C.若 l , l m ,则 / /m D.若 / /l ,m ,则 //l m 15.已知 ABC三边的长分别为 3、4、5,平面 ABC外一点 P到 ABC三边的距离都等 于 2,则 P点到平面 ABC的距离等于( ). A.1 B. 2 C. 3 D.4 16.如图, 1 1 1 1ABCD ABC D 为正方体, ① 1AC BD ② 1BD 平面 1ACB ③ 1BD 与底面 1 1BCC B 所成角的正切值是 2 ④过点 1A与异面直线 AD与 1CB 成60 角的直线有 2条. 其中正确结论的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 3 三、解答题(本大题满分 78 分) 17.(本题满分 14分)第(1)小题 6分,第(2)小题 8分. 如图,在三棱柱 1 1 1ABC A BC 中,侧棱垂直于底面,AB BC , E,F 分别是 1 1AC , BC的中点. (1) 求证: AB 平面 1 1B BCC ; (2) 求证: 1C F //平面 ABE . 18.(本题满分 14分)第(1)小题 6分,第(2)小题 8分. 已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为O,半径为 2. (1) 设圆锥的母线长为 4,求圆锥的体积; (2) 设 4, ,PO OA OB 是底面半径,且 90 ,AOB M 为线段 AB的中点,如图,求异面直线 PM 与OB所成的角大小. 19.(本题满分 14 分)第(1)小题 6分,第(2)小题 8 分. 如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图 1)穿在一起, 在没有帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等,铆合的两块钢板,成为某种钢 结构的配件,其截面图如图 2.(单位:mm).(加工中不计损失). (1) 若钉身长度是钉帽高度的 3倍,求铆钉的表面积; (2) 若每块钢板的厚度为10mm,求钉身的长度(结果精确到1mm). 4 20.(本题满分 18 分)第(1)小题 4 分,第(2)小题 6分,第(3)小题 8 分. 如图, AB是圆柱的底面直径且 2,AB PA 是圆柱的母线且 2PA ,点C是圆柱底面 圆周上的点,点 E在线段 PA上,点F 在线段PC上. (1)求圆柱的表面积; (2)求证: BC EF ; (3)若 1,AC D 是 PB的中点,求CE DE 的最小值. 21.(本题满分 18 分)第(1)小题 4 分,第(2)小题 6分,第(3)小题 8 分. 如图, P ABC是底面边长为 1的正三棱锥, , ,D E F分别为棱 , ,PA PB PC上的点,截 面DEF 底面 ABC,且棱台DEF ABC 与棱锥 P ABC的棱长和相等.(棱长和是指 多面体中所有棱的长度之和) (1)求证: P ABC为正四面体; (2)若 1 2 PD PA ,求二面角D BC A 的大小; (3)设棱台DEF ABC 的体积为V ,是否存在体积为V 且各棱长均相等的直四棱柱, 使得它与棱台DEF ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直四棱 柱,并给出证明;若不存在,请说明理由.