四川省成都市金牛区成都外国语学校2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题

高三数学试卷第 1 页（ 共 4 页） 成都外国语学校高 2022 级半期考试 数学试卷 命题人：杨欢 审题人：全鑫 注意事项： 1. 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分； 2. 本堂考试时间 120 分钟，满分 150 分； 3. 答题前考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用 2B铅笔填涂； 4. 考试结束后将答题卡交回。 第 I卷（选择题部分，共 58 分） 一、单项选择题：本题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的. 1．已知集合  2log 1A x x  ，  0 4B x x   ，则 A B  （ ） A． 0 4x x  B． 4x x  C． 2x x  D． 0 2x x  2．若函数  f x 是周期为 4的奇函数，且  1 3f  ，则  3f （ ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 3．已知  sin π 0  ，  cos π 0  ，则 为第几象限角（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．若向量  2,5AB   ，  , 1AC m m   ，且A ， B，C三点共线，则m （ ） A． 2 3  B． 2 3 C． 3 2  D． 3 2 5．若 tan 3   ，则 sin cos sin cos 2      （ ） A．3 B． 10 3  C． 5 6  D．6 6．为了得到函数 ( ) sin 2 cos 2f x x x  的图象，只需将函数   2sing x x 的图象（ ） A．向左平移 π 4 个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变） B．向左平移 π 4 个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） C．所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变），再将图象向左平移 π 4 个单位 D．所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移 π 8 个单位 高三数学试卷第 2 页（ 共 4 页） 7．已知关于 x的不等式 2 2 3 0ax x a   在  0,2 上有解，则实数 a的取值范围是（ ） A． 4, 7      B． 3, 3        C．  , 0 D．  , 0 8．设 0a  , 0b  ,且 1a b  ,则下列结论正确的个数为（ ） ① 2 2log log 2a b ≥ ② 2 2 2 2a b ≥ ③ ln 0 a b ④ 1sin sin 4 a b  A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题：本题共 3个小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求；全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分. 9．下列说法不正确的是（ ） A．钝角三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．若向量 ,a b   满足 a b   且 ,a b   同向，则 a b   C．若 P A B， ， 三点满足 3OP OA OB     ，则 P A B， ， 三点共线 D．将钟表的分针拨快 10分钟，则分针转过的角的弧度数为 π 3 10．函数    sin 0, π 2 f x x           的部分图象如图所示，则（ ） A． 2  B． π 6   C．  f x 的图象关于点 π ,012       对称 D．  f x 在区间 5ππ, 4       上单调递增 11.已知函数 ( )f x 的定义域为R ， ( 1)f x  为奇函数， ( 2)f x  为偶函数，且 [0,1]x 时， ( )f x 单调递增，则下列结论正确的为（ ） A． ( )f x 是偶函数 B． ( )f x 的图象关于点 ( 1,0) 中心对称 C． (2024) 0f  D． 5 1 0 4 4 f f             高三数学试卷第 3 页（ 共 4 页） 第 II卷（非选择题部分，共 92 分） 三、填空题:本题共 3个小题，每小题 5分，共 15 分. 12．已知角 的终边经过点 ( 3,4)P  ，则sin�= ． 13．设函数   1 1, 0 2 , 0x x x f x x      ，则满足 1 1 2 f x      的 x的取值范围是 ． 14．若 sin( ) cos 2 sin( )       ，则 tan( )  的最大值为 四、解答题:本题共 5个小题，共 70 分,其中 15 题 13 分，16、17 题每题 15 分，18、19 题每 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题 13分）已知数列 na 为等差数列， 1 1a  ，前 n项和为 nS ，数列 nb 为等比数 列， 1 1b  ，公比为 2，且 2 3 54b S  ， 3 2 16b S  . （1）求数列 na 与 nb 的通项公式； （2）设数列 nc 满足 n n nc a b  ，求数列 nc 的前 n项和 nT . 16．（本小题 15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就 餐情况，在校内随机抽取了 100名学生，其中男生和女生人数之比为1:1，现将一周内在食 堂就餐超过 8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过 8次的学生认定为“不喜欢食堂就 餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多 20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只 有 10人． 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 0.001  的独立性检验，分析学生喜欢食堂 就餐是否与性别有关： (2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取 3名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为 X．事件 “ X k ”的概率为 ( )P X k ，求随机变量 X的期望和方差． 高三数学试卷第 4 页（ 共 4 页） 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    ． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.（本小题 15分）已知锐角 ABC ，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，面积为S， πsin cos 6 b A a B      (1)求角 B； (2)若 =2a ，求S的取值范围． 18.（本小题 17分）已知抛物线 2: 2 ( 0)E y px p  经过点 (1, 2)P ，直线 :l y kx m  与 E的 交点为 , A B，且直线 PA与 PB倾斜角互补． (1)求抛物线在点 P(1,2)处的切线方程； (2)求 k的值； (3)若 3m  ，求 PAB 面积的最大值． 19．（本小题 17分）设函数       cos sin , exf x a x x x a g x   R . (1)当 1a  时，判断  f x 在  0,2π 上的单调性； (2)当� > 0 时，证明：   2 1 1 2 g x x x   ； (3)设函数       21 1 2 h x g x f x x x     ，若函数  h x 在  0, π 上存在唯一极值点，求实数 a 的取值范围. 成都外国语学校高2022级半期考试数学 参考答案及评分标准 一. 单选题: 1.A 2. D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.B 8.C 多选题:9.BCD 10.ACD 11.ABD 三、填空题:12. 313.(3+):14# 四、解答题 [2(3+3)-54 15.(1)(1)设等差数列a.)的公差为d,由题知 [46+2+d=16' 解得战.三.. .-.2. .....................4分 .三1+..-112- .2-.-. 三3..--...........6分 (2) c.=a.+b.=(2n-1)+3.2” .T=c+c++c=1+3++(2-1)]+3(1+2+2+..+2 [1+(2n-1)]n -+3x 2 1-2 16..(1)(1)列联表见图. 男生 女生 合计 20 喜欢食堂就餐 40 60 30 10 不喜欢食堂就餐 40 合计 50 50 100 .............................分 零假设H.:假设食堂就餐与性别无关 100(40×30-10×20 由列联表可得P:x2= ~16.667>10.828 ........................... 50×50x60x40 根据小概率a=0.001的独立性检验推断.不成立 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关,此推断犯错误的概率不超过0.001.......-9分 (2)由题意可知,抽取的3名学生,喜欢饭堂就餐的学生人数X服从二项分布 高三数学答案第1页 (共4页) 且喜欢饭堂就餐的频率为 100 故其期望E(x)=np=1.8. 方差D(x)=np(1-p)=0.72................-15分 由正弦定理可得, sinsnAn 0o. 2 cosB.且.cosBz0 3 (2)由正弦定理可得, n4. 且a=2,则c_-sinC ...................8分 sinA' .................1. 6 6 .“......... tanA2 sinA 2 3<s................. 18.(1)由题意可知.4=2p,所以p=2.所以抛物线E的方程为y^{}=4x;$ y=2vx(xo).y .则kyls11, 则切线方程为y=x+ 1....-4分 (2)如图:设A(x,y),B(x,y).将直线/的方程代入y2}=4x. 4-2m 所以x+二4 nr 得k2x2+(2km-4)x+m2=0. ...................分 2 因为直线PA与PB倾斜角互补,所以 x-1-1 2-1 1-1 ...........................分 1 即2k+(k+m-2) _ (x-1)(x-1) =f 4-2km-2/2} 所以2k+(k+m-2)- -0. (k+m-2)(k+m+2) 4-2m-22} 4+4 即2^+ =0 所以...-1................10分. k+m+2 k+m+2 (3) 由(1)可知x2}-(2m+4)x+m{}=0.所以x.+x=4+2m,xx=m^}$$ 则 AB}-1+1(x+x)-4x-421+m. ............................2分 高三数学答案第2页 (共4页) 因为△=(2m+4){}-4m^}>0.所以m>-1.即-1<m<3 ...........................3分 又点P到直线AB的距离为a-[3-m 2 所以 $-4 3--2、3-m)(1). 2 ...................分 2 256 所以s:32v 当且仅当3-m-2m+2,即m-时,等号成立, 所以。PAB面积最大值为 323 ...................... 。 19.(1)当a=1时.f(x)=xcosx-sinx.则/'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 当xE(0.x)时 f’(x)<0;当xE(π.2π)时.f'(x)>0.所以f(x)在(0.π)上单调递减. 在 (n.2n)...调增................分. 令G(x)=g(x)-(x+1)----1(→),则G(x)-c---1. (2)证明: 令k(x)三..-.-.则'.).-.-...........5分 当x>0时.(x)>0.所以k(x)在(0.+)上单调递增,即G(x)在(0.+o)上单调递增; 所 以G’(x)>G^’(0)=0.所以G(x)在(0,+o)上单调递增。 ................. 令n(x)=e*-x-1+axsinx且m(0)=0.所以函数(x)在(0.x)上存在唯一极值点等价于 mx)在(0.n)上存在唯一变号零点,又因为m'(x)=e-1+asinx+xcosx)且m'(0)=0 令n(x)=m(x)=e'-1+a(sinx+xcosx),则n'(x)=e*+a(2cosx-xsinx)且 n'(o)............... 高三数学答案第3页(共4页) (1) 当x(0]时y-2$-xs()上单调通减, 所以 (1)△(2()上单道又 存在唯一x。(0). n'(0)=1+2a<0.,由零点存在性定理知: 使得n(x。)=0 所以当xe(0.o)时, n()<v0.当yx({)时. n()→0. (i)当x-{时V y-2onr-rsin0.所以vn()-e{ta2cox-risn) 0. 所以由(ì)(iì)知:nx)在(0.x。)上单调递减,在x,π)上单调递增 即m(x)在(0.x)上单调递减.在xπ)上单调递增,所以当xE(0.x。)时.n'x)<m0)=0 又因为m(π)=e-1-ax>0,所以由零点存在性定理知:存在唯一x=(x,π),使得 m'(x)=0.所以当xe(0.x)时,m'(x)<0;当xe(x.π)时,m(x)>0 所以nx)在(0.x)上单调递减.(x.π)上单调递增,所以当xe(0.x)时. n(x)<m(0)=0. 又因为m(π)=e-π-1.由(2)知:m(π)>0.所以由零点存在性定理知:存在唯一x.E(x,π) 使得m(x)=0.当xe(0.x)时,m(x)<0;当xe(x,π)时,m(x)>0.即x为m(x)在(0. .................... 又因为'(x)=e”-cosx+xsinx>e”-cos0+o=0,则(x)在(0.n)上单调递增, 1 即M'(x)在(0.n)上单调递增,所以M'(x)>M'(o)=0.所以M(x)在(0.x)上单调递增. 所 高三数学答案第4页(共4页)