安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期十月份月考数学考试卷

独山中学十月份月考考试卷 高二数学试卷 考试范围：必修二第六章----第十章� �考试时间：120分钟；命题人：黄永富 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分总计40分） 1．已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 3．某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（    ） 比赛成绩 6 7 8 9 10 班级数 3 5 4 4 4 A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．以上都不对 6．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（    ）    A． B．的面积为2 C．在上的投影向量为 D．与同向的单位向量为 8．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（    ）米. A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，选错或多选不得分，部分对答部分分总计18分） 9．已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙两组数据的平均数分别为，则 B．若甲､乙两组数据的方差分别为，则 C．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 10．在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数，则 C．若复数满足，则 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 11．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（    ） A． B．二面角的正切值的最大值为2 C．三棱锥的体积为定值 D．三角形的周长最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分总计15分） 12．某新闻机构想了解全国人民对2024年巴黎奥运会开幕式的评价，决定从某市2个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若2个区人口数之比为2∶7，且人口较少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为————————． 13．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为——————————. 14．空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为——————————. 四、解答题（共77分） 15．（第一问6分，第二问7分总计13分） 在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求周长的最大值. 16．（第一问7分，第二问8分总计15分） 漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； (2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 17．（第一问7分，第二问8分总计15分） 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 18．（第一问8分，第二9分总计17分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，点为中点. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．（第一问8分，第二9分总计17分） 在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列. (1)求的正交点列； (2)判断是否存在正交点列？并说明理由. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B B B D C ACD ABD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 2．A 【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得，再求其模. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：A 3．C 【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可. 【详解】因为， 所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是. 故选：C. 4．B 【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，如图，，此时，故A错误； 对于B，若，面内可以找一条直线，使得； 而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确； 对于C， 如图，，此时，故C错误； 对于D， 如图，，此时，故D错误． 故选：B. 5．B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答. 【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”， 事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是； 事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是； 事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确. 故选：B 6．B 【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解. 【详解】由余弦定理可知，即， 又，， 则， 所以的面积， 又面积，即， 解得， 故选：B. 7．D 【分析】根据题意画出原图，然后逐个分析判断即可. 【详解】根据题意可知原图如图所示，其中，则， 因为点为线段的中点，所以为的中点，则，    对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，因为，所以在上的投影向量为 ，所以C错误， 对于D，因为，所以与同向的单位向量为 ，所以D正确. 故选：D 8．C 【分析】利用求出，在中利用正弦定理求出，最后借助于中三角函数的定义即可求得钟楼的高度. 【详解】 如图所示，在中，， 在中，, 则， 由正弦定理，，故得, 在中，. 故选：C. 9．ACD 【分析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A、B、D；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C. 【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学, 其他次考试成绩都高于乙同学,所以，故选项A正确； 由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得.故选项B错误； 因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数， 由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上， 而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数. 故选项C正确； 因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确. 故选：ACD. 10．ABD 【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积. 【详解】A选项，复数，则， 故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确； B选项，设，，， 则，即， 故， 两边平方得， 故，所以， 即，故， 其中，故，B正确； C选项，设复数，满足， 但，C错误； D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部， 表示原点为圆心，为半径的圆的内部， 则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界）， 故面积为，D正确. 故选：ABD 11．AC 【分析】连接交于点，利用线面垂直的判定性质证得判断A；求出二面角的正切值表达式判断B；利用等体积法推理判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接交于点，连接，则， 由平面，平面，得， 而平面，则平面，又平面， 于是，又为的中点，因此，A正确； 对于B，过作于，连接，由平面，平面， 得，而平面，则平面， 又平面，于是，是二面角的平面角， ，，，当与重合时取等号，B错误； 对于C，由平面，为棱上的动点，得点到平面的距离为定值1， 而的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，当点与重合时，的周长为，D错误. 故选：AC 12．450 【分析】根据分层抽样的抽取比例相同求解即可． 【详解】设样本容量为，则，解得， 所以样本容量为450， 故答案为：450． 13． 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在中，由，得， 由点在斜边的中线上，得， 得. 故答案为： 14．/ 【分析】先得到，两边平方后，结合边长和直线与所成角得到方程，求出或，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】因为，所以， 两边平方得， ，且异面直线与成， 故， 或， 所以，或， 解得，或（舍去）， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、两角和正弦公式化简已知得，再利用辅助角及特殊角求值即可. （2）利用正弦定理把周长化为，利用正弦函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，整理得，， 即， 即， 因为，可得，所以， 结合，解得，所以； （2）因为，所以， 所以周长 ， 当时，，故周长的最大值为. 16．(1)，众数为85，中位数为82 (2)平均数为81；方差为30 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合众数和中位数的含义即可求得它们的值； （2）根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得， 由频率分布直方图可估计众数为85， 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为. （2）由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为20； 在的频率为，人数为30， 把满意度分值在记为，其平均数，方差， 在内记为，其平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 根据方差的定义，满意度分值在的方差为 由，可得， 同理可得， 因此， 17．(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； (2)（i）答案见解析；（ii）游戏不公平理由见解析 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解. （2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解. 【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得， 解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以     因为，所以此游戏不公平. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证得平面，进而由线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）过点作交于点，则平面ABCD，利用等体积法求得点到平面的距离，然后利用线面角的定义结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，且， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）设，由（1）知平面， 又平面，所以，所以， 过点作交于点， 则平面平面，平面平面，且， 所以平面ABCD，且，设点到平面的距离为， 则由，可得， 即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为， 因为，所以，故， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是. 19．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由正交点列的定义可知，设，由正交点列的定义可知，求解即可. （2）设点列是点列的正交点列，则可设因为与与相同,即可得出结论. 【详解】（1）设点列的正交点列是， 由正交点列的定义可知， 设， 由正交点列的定义可知， 即，解得 所以点列的正交点列是. （2）由题可得， 设点列是点列的正交点列， 则可设 因为与与相同，所以有 因为得方程，显然不成立， 所以有序整点列不存在正交点列. 答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$