山东省潍坊市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年山东省潍坊市九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本题共6小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分。） 1．（4分）sin60°的值为（　　） A． B． C． D． 2．（4分）解下列一元二次方程可以直接开平方的是（　　） A．x2+6x＝0 B．（x﹣5）2＝16 C．x2+5x﹣6＝0 D．（x﹣2）x+3x﹣8＝0 3．（4分）如图，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，则下列结论正确的是（　　） A． B．＝ C． D． 4．（4分）小莹在解关于x的方程ax2﹣4x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1，则原方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根是x＝﹣1 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．（4分）如图，在半径为1的⊙O中，有一条弦AB，直径CD⊥AB，垂足为E，∠BAD＝22.5°，则弦AB的长为（　　） A． B．2 C． D． 6．（4分）如图，当太阳光线与地面成60°的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（　　） A．20m B． C． D．10m 二、多选题（本题共4小题，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分。） （多选）7．（5分）如图，下列条件中，能够判定△ABC∽△ACD的为（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB （多选）8．（5分）将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点D，E落在斜边AB上，若小正方形的边长为1，则下列说法正确的是（　　） A．tanA＝2 B． C．BC＝7 D．S△ABC＝12 （多选）9．（5分）已知等腰△ABC三边的长不分别是a，b，13，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣（5k﹣1）x+6k2﹣k﹣2＝0的两个根，则△ABC的周长可能等于（　　） A．27 B．34 C．37 D．42 （多选）10．（5分）已知⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，DB平分∠ADC．则下列结论正确的是（　　） A．AD＝BD B．若AC为直径，则 C．AB2+CD2＝AD2 D．若∠ADB＝30°，则 三、填空题（本题共4小题，共16分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分。） 11．（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　． 12．（4分）由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2022﹣2024这三年的总产量为95万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 　 　． 13．（4分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，延长BC，AD交于点E，则AD＝ 　 　． 14．（4分）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 　 　． 四、解答题（本题共8小题，满分90分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 15．（15分）解下列方程： （1）x2﹣x+＝0； （2）（x+1）（x+2）＝2（x+2）； （3）3x2+2x﹣1＝0． 16．（8分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径．求∠ADB和∠CBD的度数． 17．（9分）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AC，BC上，连接BD和DE，∠BDE＝60°，若CD＝3AD，BD＝2，求ED的长． 18．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BD是AC边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若BD＝5，． （1）求BC的长； （2）求∠ABC的正切值． 19．（10分）如图，某儿童乐园的场地是长宽分别为35m，15m的矩形．儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形． （1）若扩充后的矩形场地面积为800m2，求新的矩形场地的长与宽； （2）儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元？ 20．（12分）某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的高度AE＝5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为8.5m． （1）求AO的长； （2）求MN的长． 21．（12分）如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形ABCD，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西30°方向1600米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区M两地相距1000米（∠ABM＜90°），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向． （1）求步道AB的长度（结果保留根号）； （2）小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿M﹣B﹣A路线，速度为每分钟300米；小莹沿M﹣D﹣A路线，速度为每分钟200米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：≈1.4，≈1.7） 22．（14分）如图①，黄金矩形纸片ABCD中，AB＝2，折出一个正方形EFCD后，余下的矩形ABFE的宽AE与长AB的比等于矩形ABCD的宽AB与长AD的比． （1）求黄金矩形ABCD的宽与长的比； （2）用黄金矩形纸片ABCD进行如下操作（如图②）： 第一步：折出正方形EFCD； 第二步：对折正方形EFCD，展开，折痕为GH，连接CG； 第三步：折叠纸片使CB落在CG所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕AC与EF交于点M； 第四步：过点M作线段MR⊥CD，垂足为R． 求证：矩形MFCR也是黄金矩形； （3）如图③，若点G为正方形EFCD的边ED上（不与端点重合）一动点，CD＝2，连接CG，折叠纸片使CF落在CG上，点F的对应点为点N，折痕CM交EF于点M，过点M作线段MR⊥CD，垂足为R．当四边形EMNG的周长为3时，直接写出矩形MFCR的周长． 2024-2025学年山东省潍坊市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（本题共6小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分。） 1．【解答】解：sin60°＝， 故选：D． 2．【解答】解：方程（x﹣5）2＝16可以直接开平方． 故选：B． 3．【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵DE∥BC， ∴＝，即＝， 故B选项正确，符合题意； ∵DF∥AC， ∴＝， 故C选项错误，不符合题意； ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠A＝∠BDF，∠BFD＝∠EDF＝∠AED， ∴△ADE∽△DBF， ∴＝， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4．【解答】解：将x＝1代入方程得， a﹣4+2＝0， 解得a＝2， 所以a的正确值为﹣2， 则原方程为﹣2x2﹣4x+2＝0， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣2）×2＝32＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 5．【解答】解：连接OB， ∵∠BAD＝22.5°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝45°， ∵直径CD⊥AB， ∴＝， ∴∠AOD＝∠BOD＝45°， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝90°， ∵AO＝OB＝1， ∴AB＝＝＝， 故选：A． 6．【解答】解：如图，∠ABC＝60°，AB＝10m， ∴AC＝AB•sin60°＝5m， ∴MN＝AC＝5m， 故选：C． 二、多选题（本题共4小题，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分。） 7．【解答】解：对于A，由于∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，所以△ABC∽△ACD（AAA），A正确； 对于B，由于∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，所以△ABC∽△ACD（AAA），B正确； 对于C，不符合相似三角形判定定理，C错误； 对于D，由AC2＝AD•AB得，又∠CAD＝∠BAC，所以△ABC∽△ACD（SAS），D正确． 故选：ABD． 8．【解答】解：如图所示， ∵CA∥DM， ∴∠A＝∠MDE． 在Rt△DME中， tan∠MDE＝＝2， ∴tanA＝tan∠MDE＝2． 故A选项符合题意． 在Rt△DME中， DE＝， ∴sin∠MDE＝， ∴sinA＝sin∠MDE＝． 故B选项不符合题意． ∵AC∥EN， ∴∠NEB＝∠A， ∴tan∠NEB＝tanA＝2． 在Rt△NEB中， tan∠NEB＝， ∴， 则BN＝4， ∴BC＝3+4＝7． 故C选项符合题意． 在Rt△ADP中， tanA＝， ∴， 则AP＝， ∴AC＝3+， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：AC． 9．【解答】解：根据题意得Δ＝（5k﹣1）2﹣4（6k2﹣k﹣2） ＝25k2﹣10k+1﹣16k2+4k+8 ＝k2﹣6k+9 ＝（k﹣3）2， ∴x＝， 即x1＝3k﹣2，x2＝2k+1， ∵△ABC为等腰三角形， 而a＝b时，三角形三边长度为7、7、13， 周长为27； 当3k﹣2＝13，解得k＝5， 此时三角形三边长度为13、13、11，周长为37； 当2k+1＝13时，解得k＝6，此时三角形三边长度为13、13、16；周长为42； 综上，△ABC的周长等于27或37或42， 故选：ACD． 10．【解答】解：选项A：由DB平分∠ADC，无法推出AD＝BD，故A错误； 选项B：若AC为直径，则AC＝4，∠ABC＝90°． ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴AB＝CB， 故△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝＝， 故B正确； 选项C：由DB平分∠ADC，无法推出AB2+CD2＝AD2，故C错误； 选项D：连接OA，OC，作OE⊥AC于点E，如图所示， 则OA＝OC＝2． 若∠ADB＝30°，则∠ADC＝60°， ∴∠AOC＝120°，∠OAC＝∠OCA＝30°． ∴AE＝cos30°×OA＝＝， 由垂径定理可得：AC＝2AE＝． 故D正确； 故选：BD． 三、填空题（本题共4小题，共16分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分。） 11．【解答】解：如图所示：位似中心点P的坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 12．【解答】解：根据题意可得，20+20（1+x）+20（1+x）2＝95． 故答案为：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95． 13．【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠B＝90°， 根据圆内接四边形对角互补，可得∠CDA＝90°， ∵∠A＝60°，∠B＝90°， ∴∠E＝30°， ∵CD＝1， ∴DE＝＝＝，AE＝2AB＝4， 故AD＝AE﹣DE＝4﹣． 故答案为：4﹣． 14．【解答】解：连接DM，CM，如图所示， 令网格的边长为a， 则由勾股定理得， CM＝， DM＝． 在Rt△DMC中， tan∠DCM＝． 因为MC∥AB， 所以∠APD＝∠DCM， 所以tan∠APD＝tan∠DCM＝3． 故答案为：3． 四、解答题（本题共8小题，满分90分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 15．【解答】解：（1）∵x2﹣x+＝0， ∴（x﹣）2＝0， 则x﹣＝0， 解得x1＝x2＝； （2）∵（x+1）（x+2）＝2（x+2）， ∴（x+1）（x+2）﹣2（x+2）＝0， 则（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1； （3）∵3x2+2x﹣1＝0， ∴（x+1）（3x﹣1）＝0， 则x+1＝0或3x﹣1＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝． 16．【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠ADB＝∠ACB＝60°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°． 17．【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠A＝60°＝∠C， 而∠BDE＝60°， ∴∠ABD+∠ADB＝∠ADB+∠CDE＝120°， ∴∠ABD＝∠CDE， ∴△ABD∽△CDE， ∴AB：CD＝BD：DE， ∵CD＝3AD，BD＝2， ∴4：3＝2：DE， ∴DE＝1.5． 18．【解答】解：（1）∵DE⊥BC， ∴∠BED＝∠CED＝90°． 在Rt△BDE中， sin∠CBD＝， ∴， ∴DE＝3， ∴BE＝． 在Rt△DCE中， tanC＝， ∴， ∴CE＝3， ∴BC＝BE+CE＝4+3＝7． （2）过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵ED＝EC＝3，DE⊥BC， ∴CD＝． ∵BD是AC边上的中线， ∴AC＝2CD＝． 在Rt△ACM中， sinC＝， ∴＝， ∴AM＝6， ∴CM＝AM＝6， ∴BM＝BC﹣CM＝7﹣6＝1． 在Rt△ABM中， tan∠ABC＝． 19．【解答】解：（1）设场地的长、宽增加x m，则新的矩形场地的长为（35+x）m，宽为（15+x）米， 根据题意得：（35+x）（15+x）＝800， 整理得：x2+50x﹣275＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去）， ∴35+x＝35+5＝40， 15+x＝15+5＝20． 答：新的矩形场地的长为40m，宽为20m； （2）设票价应定为y元/人，则游客数为每天500﹣10（y﹣30）＝（800﹣10y）人， 根据题意得：y（800﹣10y）＝16000， 整理得：y2﹣80y+1600＝0， 解得：y1＝y2＝40． 答：票价应定为40元/人． 20．【解答】解：（1）如图，设CD交AB于点G、交MN于点H． 根据题意，得AB⊥CD， ∵AB＝12m， ∴AG＝AB＝6m， 设AO＝CO＝r m， ∵CD＝9m，GD＝AE＝5m， ∴CG＝CD﹣GD＝4m， ∴GO＝CO﹣CG＝（r﹣4）m， 在Rt△AGO中利用勾股定理，得AO2＝AG2+GO2， ∴r2＝62+（r﹣4）2， ∴r＝， ∴AO的长是m． （2）如上图，连接MO． ∵M，N离地面的高度均为8.5m， ∴MN⊥CD， ∴MH＝MN，HD＝8.5m， ∵DO＝CD﹣CO＝m， ∴HO＝HD﹣DO＝6m， 在Rt△OHM中利用勾股定理，得MH＝＝（m）， ∴MN＝2MH＝5m． 21．【解答】解：（1）由题意得，∠DAM＝30°，∠BAD＝75°，∠D＝90°，AM＝1600米，BM＝1000米， ∴∠BAM＝∠BAD﹣∠DAM＝75°﹣30°＝45°， 过点M作MH⊥AB于M，则∠AHM＝∠BHM＝90°， ∴△AHM为等腰直角三角形， ∴AH＝MH＝AM＝×1600＝800（米）， ∴BH＝＝＝600（米）， ∴AB＝AH+BH＝800+600＝1400（米）， 答：步道AB的长度为1400米； （2）∵AM＝1600米，∠DAM＝30°，∠D＝90°， ∴DM＝AM＝800（米），AD＝AM•cos30°＝1600×＝800（米）， ∴路线②M﹣D﹣A的路程为MD+AD＝800+800≈2185.6（米）， ∴小莹到达景点A的时间为2185.6÷200≈10.93（分钟）， ∵路线①M﹣B﹣A的路程为MB+AB＝1000+1400＝2400≈3394.08（米）， ∴小明到达景点A的时间为3394.08÷300≈11.31（分钟）， ∵10.93＜11.31， ∴小莹先到达景点A． 22．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝2， ∵四边形EFCD为正方形， ∴EF＝CD＝ED＝FC＝2， 设AE＝x，则AD＝AE+DE＝x+2． ∵矩形ABFE的宽AE与长AB的比等于矩形ABCD的宽AB与长AD的比， ∴， 解得：x＝﹣1±（负数不合题意，舍去）， ∴AE＝﹣1， ∴AD＝﹣1+2＝+1． ∴黄金矩形ABCD的宽与长的比＝＝； （2）证明：设AB＝2a， ∵四边形ABCD为黄金矩形， ∴AD＝（+1）a， ∵四边形EFCD为正方形， ∴EF＝CD＝ED＝FC＝2a， ∴AE＝AD﹣ED＝（﹣1）a． ∵ME∥CD， ∴△AEM∽△ADC， ∴， ∴， ∴EM＝（3﹣）a， ∴MF＝EF﹣ME＝2a﹣（3﹣）a＝（﹣1）a， ∴． 即矩形MFCR的宽与长的比等于黄金比， ∴矩形MFCR也是黄金矩形； （3）解：矩形MFCR的周长为6．理由： ∵四边形EFCD为正方形，CD＝2， ∴EF＝ED＝FC＝2，∠F＝∠FCD＝90°， ∵MR⊥CD， ∴四边形MFCR为矩形， ∴MR＝FC＝2，MF＝CR． 设DG＝x，则EG＝2﹣x，设MF＝m，则EM＝2﹣m．连接MG，如图， 由折叠的性质可得：CN＝CF＝2，MF＝MN＝m， ∵四边形EMNG的周长为3， ∴ME+MN+EG+GN＝3， ∵ME+MN＝ME+MF＝EF＝2， ∴EG+GN＝1． ∵CG＝＝， ∴GN＝GC﹣CN＝﹣2， ∴2﹣x+﹣2＝1， ∴＝x+1， ∴x＝， ∴EG＝， ∴GN＝1﹣GE＝， ∴GE＝GN． 在Rt△GEM和Rt△GNM中， ， ∴Rt△GEM≌Rt△GNM（HL）， ∴EM＝NM， ∴EM＝MF＝EF＝1， ∴CR＝MF＝1， ∴矩形MFCR的周长＝MR+FC+MF+CR＝2+2+1+1＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $$