北京市首都师范大学附属育新学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

首师大育新学校2024-2025学年第一学期高二数学期中考试 2024.11 学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（   ） A．两两垂直 B． C． D． 3．在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D． 5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 6．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知圆C：，直线l过点，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为.则该圆锥的体积为 . 12．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . 13．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为 . 14．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米， 则车辆的最大高度为 米． 15．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是 . ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. 三、解答题（共85分） 16．（本题13分）已知顶点、、． (1)求线段的中点及其所在直线的斜率； (2)求线段的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 17．（本题14分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 18．（本题15分）已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设直线与圆相切于点，求. 19．（本题14分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 20．（本题15分）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．（本题14分）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则 (1)①点，，求的值． ②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程． (2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 首师大育新学校2024-2025学年第一学期高二数学期中考试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D C A B A B C 1．D 【详解】对于A，若，，，则或者异面，故A错误， 对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 2．A 【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故B错误； 对于C，由共面定理可知非零向量共面，故C错误； 对于D，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D错误. 3．C 【详解】连接，由正方体的性质可得，，故到的距离为， 4．D 【详解】直线l与平面垂直，故与平行，设，即，解得. 5．C 【详解】连接，因为是的中点，所以，   因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 6．A 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为. 7．B 【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，故直线与直线垂直，且直线过圆心，所以，，所以，. 8．A 【详解】直线l恒过定点，圆C：的圆心为，半径为，且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 9．B 【详解】由圆的方程为可得圆心，半径， 若圆与函数相交，则圆心到直线的距离， 即， 若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部， 即，解得， 综上函数的图象与圆有四个公共点则， 所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件， 10．C 【详解】对A：设点， ∵，则，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对B：的圆心，半径为， ∵点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确； 对C：设点， ∵，则，整理得， ∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，没有公共点， ∴在C上不存在点M，使得，C不正确； 对D：∵圆心到直线的距离为， ∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确； 11． 【详解】 因为圆锥底面半径、高、母线构成一个， 又，， 所以底面圆半径， 则该圆锥的体积， 故答案为：. 12． 【详解】由题意可知， 根据点到平面的距离为. 故答案为： 13． 【详解】由题意可得，解得交点坐标为， 又所求直线的倾斜角为，故斜率为， 所以直线方程为， 故答案为：. 14． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，是圆心，， 半圆方程为（），在半圆上，且 轴， 则，， 故答案为：． 15．②③ 【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为, 则满足，可得， 此时外接球的表面积为，可知①错误； 对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，所以， 设，其中； 可得， 异面直线与所成角的余弦值为， 易知时，， 可得， 所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确； 对于③，由②可知，，则； 设平面的法向量为，又， 则，取，则； 所以平面的法向量为， 此时，可得，又平面， 所以直线平面，即③正确； 对于④，根据正方体性质平面，所以， 易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误； 综上所述，正确的结论为②③. 16．【详解】（1）由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 17．【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程，解得， 即圆心，， 所以，圆的方程为. （2）因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 18．【详解】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为. （2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即. 由圆心到直线的距离等于半径得，，解得， 此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （3）∵圆的圆心坐标为，， ∴. 如图，由相切得，，， ∴. 19．【详解】（1）因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面，所以平面. （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 20．【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. （2） （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 21．【详解】（1）①； ②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即. （2）设直线上任意一点坐标为，则， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时， 综上所述，的最小值为2. （3）如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点， 当四个点在同一个面上时， （i）例如：，此时； （ii）例如：，此时； 当四个点不在同一个平面时， （iii）例如：，此时； （iiii）例如：，此时； （iiiii）例如：，此时； （iiiiii）例如：，此时； 综上所述，的最大值为2，例如：，，，. 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$