2.4 幂函数与二次函数 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．幂函数y＝xα中的α的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为( ) A. B． C. D． 2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是( ) A．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数 B．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数 C．奇函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数 D．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数 3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)·xm＋1为偶函数，则m＝( ) A．1 B．2 C．1或2 D．3 4.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( ) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 5．已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于( ) A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1 C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1 6．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上( ) A．是增函数 B．不是单调函数 C．是减函数 D．不能确定 7．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( ) 8．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( ) A．(－∞，2] B．[4，＋∞) C．[2，＋∞) D．(－∞，4] 二、多选题 9．下列关于幂函数的论述正确的是( ) A．若α＝0，则幂函数y＝xα的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(－1，－1) D．幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1，－1) 10．已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的有( ) A．f(－32)＝ B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3] 11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ) A．f(－1) B．f(1) C．f(2) D．f(5) 12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( ) A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0,3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3,0) 三、填空题 13．已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点，则m－2n＋3k＝________. 14．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________________________. 15．幂函数f(x)过点，则f(x)＝________，若f(a＋1)<f(3－2a)，则实数a的取值范围是________. 四、解答题 16．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求f(x)在上的最大值； (3)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围． 【B级　能力提升】 1．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f等于( ) A．3 B．－3 C. D．－ 2．已知二次函数f(x)＝(x－a)·(x－b)－2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两个根，则α，β，a，b的大小关系是( ) A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b 3．(多选题)如图，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(包括端点)，则下列结论正确的为( ) A．当x>3时，y<0 B．4a＋2b＋c＝0 C．－1≤a≤－ D．3a＋b>0 4．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2x＋1，且f(1)＝－1.对任意x1>x2>－1，>m(x1＋x2)成立，则m的取值范围为( ) A．[－2，－1] B．[－2，－1) C．[－4，－1] D．[－4，－1) 5．函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0.请写出函数f(x)的一个解析式：________________(只要写出一个即可)． 6．已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)xm－的图象过点(4,2)． (1)求f(x)的解析式； (2)判断f(x)的单调性，并进行证明； (3)若f(a＋1)>f(2a－3)，求实数a的取值范围． 7．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋3，a∈R. (1)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，求a的取值范围； (2)若a＝1时，函数f(x)的图象恰好在函数g(x)＝2x＋b的图象上方(f(x)≥g(x)且恰好能取到等号)，求实数b的值． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( C ) 2．( D )[解析]　设幂函数f(x)＝xα，则f(3)＝3α＝，解得α＝， 则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数． 3．( A )[解析]　因为f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x3，函数f(x)不是偶函数，舍去；当m＝1时，f(x)＝x2，函数f(x)是偶函数． 4.( D )[解析]　对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0. 5．( B )[解析]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b， 由f(x)＝x2＋f′(x)－1可得 ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)， 所以解得 因此，f(x)＝x2＋2x＋1. 6．( A )[解析]　因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0.所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增．故选A. 7．( C )[解析]　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C. 8．( B )[解析]　因为f(x)>0的解集为(－1,3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以得令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当x∈[－1,0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，所以m≥4.故选B. 二、多选题 9．( CD )[解析]　由题意利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．若α＝0，则幂函数y＝xα的图象是一条直线上去掉点(0,1)，故A错误；若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数不一定相同，例如函数y＝x和y＝x3有3个交点，分别为(1,1)、(0,0)、(－1，－1)，故B错误．若幂函数y＝xα为奇函数，则α为奇数，∴(－1)α＝－1，故它的图象一定经过点(－1，－1)，故C正确；对于幂函数y＝xα的图象，令x＝1，可得1α＝1，故它的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1，－1)，故D正确，故选CD. 10．( ACD )[解析]　因为函数是幂函数，所以m＋＝1，得m＝－，即f(x)＝x－，f(－32)＝[(－2)5]－＝(－2)－4＝，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0}，故B不正确；∵f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，故C正确；函数f(x)＝x－在(0，＋∞)是减函数，不等式f(x－1)≥f(2)等价于|x－1|≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1,1)∪(1,3]，故D正确．故选ACD. 11．( ACD )[解析]　因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)． 12．( ABD )[解析]　由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD. 三、填空题 13．[解析]　因为f(x)是幂函数，所以m＝1，k＝0， 又f(x)的图象过点， 所以n＝， 解得n＝， 所以m－2n＋3k＝0. 14．[解析]　由于函数f(x)的图象开口向上， 对称轴是x＝－a， 所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数， 应有－a≤－4或－a≥6， 即a≤－6或a≥4. 15．[解析]　设幂函数解析式为f(x)＝xα，将代入得α＝－， 所以f(x)＝x－，在(0，＋∞)上单调递减， 所以a＋1>3－2a>0，可得a∈. 四、解答题 16．[解析]　(1)∵f(0)＝f(2)＝3， ∴二次函数f(x)的对称轴为x＝1， 设函数f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)， 则f(0)＝a＋1＝3， 解得a＝2； 故f(x)＝2(x－1)2＋1. (2)∵>， ∴f(x)max＝f＝2×2＋1＝， 即f(x)在上的最大值为. (3)∵函数f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调， ∴2a<1<a＋1， 解得，0<a<； 故实数a的取值范围为. 【B级　能力提升】 1．( C )[解析]　设f(x)＝xα，则＝3， ∴f＝α＝. 2．( C )[解析]　设g(x)＝(x－a)(x－b)(a<b)，则y＝g(x)－2，所以y的图象是由g(x)的图象向下平移2个单位长度得到的，因为α，β(α<β)是方程y＝0的两个根，所以α<a<b<β.故选C. 3．( AC )[解析]　由已知得图象与x轴另一交点为(3,0)，所以当x>3时，y<0，故A正确； 当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，故B错误； 又∵y＝ax2＋bx＋c过点A(－1,0)，a<0， ∴a－b＋c＝0，又－＝1，即b＝－2a， ∴b＋2a＝0，则b＋3a<0，故D错误； 又∵3a＋c＝0，∴c＝－3a，且2≤c≤3， ∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－，故C正确． 故选AC. 4．( A )[解析]　由已知先利用待定系数法求出函数解析式，然后结合已知不等式转化为函数g(x)在(－1，＋∞)上单调递增，然后结合函数的性质即可求解．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(x＋1)＝f(x)－2x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝－2x＋1，整理得，2ax＋a＋b＝－2x＋1，故a＝－1，b＝2，又f(1)＝a＋b＋c＝－1，所以c＝－2，f(x)＝－x2＋2x－2，因为对任意x1>x2>－1，>m(x1＋x2)成立，所以f(x1)－mx>f(x2)－mx，令g(x)＝f(x)－mx2＝(－1－m)x2＋2x－2，则x1>x2>－1时，g(x1)>g(x2)，即g(x)在(－1，＋∞)上单调递增，当m＝－1时，g(x)＝2x－2满足题意，当m≠－1时，解得，－2≤m<－1，综上，m的范围[－2，－1]．故选A. 5．[解析]　由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)图象的对称轴为直线x＝2，开口向上，满足②，∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5. 6．[解析]　(1)由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值，可得结论． ∵幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)xm－的图象过点(4,2)，∴m2－2m＋1＝1,4m－＝2，求得m＝2， 故有f(x)＝x. (2)f(x)＝x在其定义域[0，＋∞)上单调递增． 证明：设x2>x1≥0，即x2－x1>0， 则f(x2)－f(x1)＝－＝>0，即f(x2)>f(x1)， 故函数f(x)在其定义域[0，＋∞)上单调递增． (3)由题意利用函数的单调性的定义、函数的定义域，求得a的范围． 若f(a＋1)>f(2a－3)，则>，∴a＋1>2a－3≥0，求得≤a<4. 7．[解析]　(1)f(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2， 对称轴是x＝a，若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减， 则a≥－2，即a的取值范围是[－2，＋∞)． (2)a＝1时，f(x)＝(x－1)2＋2， f(x)－g(x)＝x2－4x＋3－b， 由题意得f(x)－g(x)≥0，即x2－4x＋3－b≥0恒成立， 故Δ＝16－12＋4b≤0，解得：b≤－1， 当f(x)≥g(x)且恰好能取到等号， 即f(x)＝g(x)时，b＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$