精品解析：江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题

江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 下列四组数据中，方差最小的是（ ） A. 5，5，5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，5，5，5，6，6 C. 3，3，4，4，5，6，6，7 D. 2，2，2，2，2，5，8，8 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若圆上任意一点都满足，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则（ ） A. B. C. 和是互斥事件 D. 和是相互独立事件 10. 在矩形ABCD中，.若，则（ ） A. B. C. 以CE为直径的圆与直线BF相切 D. 直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上 11. 已知椭圆，直线与交于A，B两点，点为上异于A，B的动点，则（ ） A. 当时， B. C. 存在点，使得 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 若直线与垂直，则实数______. 13. 已知，则______. 14. 历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 已知点在抛物线上，直线经过点，且在轴上的截距为. （1）求的值和直线的方程； （2）记与的另一个交点为，求经过，，三点的圆的方程. 17. 在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点. （1）证明:平面； （2）若平面，四面体PABC的体积为2，且，求MN与平面PAC所成角的正弦值. 18. 已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2． （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且与圆交于A，B两点，， ①求的方程和的值； ②若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值. 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为. （1）求的方程； （2）直线平行于直线AB，且与交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 下列四组数据中，方差最小的是（ ） A. 5，5，5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，5，5，5，6，6 C. 3，3，4，4，5，6，6，7 D. 2，2，2，2，2，5，8，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的定义和意义进行判断. 【详解】设个数据，的平均数为， 则方差为， 方差反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立. 对于A，这组数据都相等，没有波动，故方差为； 对于B，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于； 对于C，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于； 对于D，这组数据波动较大，故方差较大； 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解. 【详解】, 故选：D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一般式方程转化为点斜式方程求出斜率，即可求倾斜角. 【详解】直线化为点斜式得，， 所以直线的斜率为，所以倾斜角为， 故选：B. 4. 两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设双曲线的焦点在轴，设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为，得到，再利用双曲线的离心率为． 【详解】设双曲线的标准方程为，则渐近线的方程为， 由两条渐近线互相垂直，即，即， 又双曲线的离心率为， 故选：B. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程的概念求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 6. 底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中的条件求出圆柱底面直径与高，再利用圆柱轴截面矩形的对角线为圆柱的外接球的直径，由此求出圆柱的外接球的半径，即可求得表面积. 【详解】 设圆柱的底面直径与高为，则圆柱的体积为，解得， 则外接球的直径为，即圆柱的外接球的半径为， 则圆柱的外接球的表面积为， 故选：B. 7. 已知点，若圆上任意一点都满足，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用求出点的轨迹方程即可. 【详解】设，因为， 所以， 则，整理得，，所以， 故选:C. 8. 抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故选: D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则（ ） A. B. C. 和是互斥事件 D. 和是相互独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概率模型求解选项A,B,利用互斥事件的定义求解选项C，利用相互独立事件的定义求解选项D. 【详解】由题，样本空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， {（正，正），（正，反）}， {（正，反），（反，反）}， 所以，A正确； {（正，反）}， 所以，则B错误， 因为，所以和不是互斥事件，C错误， 因为, 所以，所以和是相互独立事件，D正确. 故选:AD. 10. 在矩形ABCD中，.若，则（ ） A. B. C. 以CE为直径的圆与直线BF相切 D. 直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用斜率与平行关系确定选项A，利用向量的数量积与垂直的关系确定选项B，利用直线与圆的位置关系确定选项C，利用两直线的交点坐标求解方法与两点间的距离公式确定选项D. 【详解】 如图，以为坐标原点，方向为轴，建立平面直角坐标系， 则, 对A，,所以不平行，A错误； 对B，,,所以，B正确； 对C，的中点为， 因为，所以的直线方程为，化为一般式， 则点到直线的距离为， 又因为,所以, 所以以CE为直径的圆与直线BF相切，C正确； 对D，因为,所以的直线方程为， 联立，解得，所以直线AE与BF的交点为， 矩形ABCD的外接圆是以为圆心， 为半径的圆， 因为点到的距离为， 所以直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上，D正确； 故选:BCD. 11. 已知椭圆，直线与交于A，B两点，点为上异于A，B的动点，则（ ） A. 当时， B. C. 存在点，使得 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点，则,从而，根据在椭圆上，则有 ，则，再结合，可判断选项A；利用可判断选项B；根据可判断选项C，利用平面三角形的坐标面积公式即可判断选项D. 【详解】设，则, 所以， 因为点在椭圆上，所以，所以， 则， 时，，代入，解得， 此时，A正确； 因为为的中点，所以, 所以， 因为点在椭圆上，所以，所以， 所以， 因为点在椭圆上， 所以，所以，B正确； 因为，, 所以, 所以， 所以当时，， 因为点为上异于A，B的动点， 所以当，即时，不存在点使得，C错误； 以下证明，若，则， , 所以, 所以 ， 因为， 所以， 设， 则，D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛： 本题选项B需使用极化恒等式：在中，是中点，则恒有； 2.本题选项D需使用三角形面积的坐标表示：若，则. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 若直线与垂直，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的充要条件进行求解即可. 【详解】由直线与垂直， 则，解得， 故答案为：. 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 故答案为： . 14. 历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______. 【答案】9 【解析】 【分析】延长交于点，根据直线平分，则有，从而有，再根据为的中点， 为的中点， 则由中位线的性质可得，，进而利用双曲线的定义求解. 【详解】 延长交于点， 因为直线平分，所以， 所以， 所以， 由角平分线可知，为的中点，又因为为的中点， 则由中位线的性质可得，，所以， 所以. 故答案为：9. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【小问1详解】 因为，边化角可得， ， 即， 又因为， 且， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，， 所以，即，所以， 所以的面积为. 16. 已知点在抛物线上，直线经过点，且在轴上的截距为. （1）求的值和直线的方程； （2）记与的另一个交点为，求经过，，三点的圆的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线上的点即可求得，并根据点斜式求直线方程； （2）联立直线方程和抛物线方程求解得到，再设圆的一般方程为，待定系数法求解. 【小问1详解】 因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以； 因为直线在轴上的截距为， 所以设， 又因为直线经过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设， 联立，消去可得，， 解得，，则， 所以， 设经过，，三点的圆的方程为， 则有，解得，， 所以圆方程为. 17. 在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点. （1）证明:平面； （2）若平面，四面体PABC的体积为2，且，求MN与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：在中，是的中点，所以, 又因为平面, 平面, 所以平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为平面， 且四面体PABC的体积为2， 所以， 即，所以,所以, 过点作的垂线，垂足为，连接，则有， 因为平面平面，所以, 又因为平面， 所以平面，所以为MN与平面PAC所成角， 因为平面，所以， 在中，由等面积法可知， ，所以, 则,, , 所以即为MN与平面PAC所成角的正弦值. 18. 已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2． （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且与圆交于A，B两点，， ①求的方程和的值； ②若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值. 【答案】（1） （2）①或；②动圆圆心到点距离的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线长公式求解即可； （2）①利用直线被圆截得的弦长公式可求的方程，再根据向量的数量积公式结合余弦定理可求的值；②利用双曲线的定义，确定动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，再利用两点间的距离公式求解. 【小问1详解】 过点作圆的切线，设切点为,连接， 因为, 所以, 所以圆. 【小问2详解】 显然, 直线的斜率存在，设直线的方程为， 设圆心到直线的距离为， 所以，解得， 又因为，整理得，， 解得或， 所以的方程为或； 在中，, 所以. 设动圆的半径为，则由题意可得， , 所以， 所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支， 则有， 所以双曲线方程为， 设动点，则有，所以， 所以， 由二次函数的性质可知，当时， 有最小值，最小值为， 所以，此时. 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为. （1）求的方程； （2）直线平行于直线AB，且与交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）①或. ②,证明：因为，所以，则有， 由韦达定理， （此处，因为点在椭圆上，所以） 所以，进而， 此时有，， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆以及离心率之间的关系求解； （2）①利用矩形的面积公式可得，再利用直线被椭圆截得的弦长公式，结合韦达定理可求解； ②利用韦达定理得，进而可得，即可证明. 【小问1详解】 由题意得，,所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，,即， 设， 联立，消去整理得，， 由相交得，，即，解得， 由韦达定理得，， 因为，所以矩形中即为两平行线间的距离， 因为，即，， 所以， 又由题意得，, 所以,即， 此时， 所以，化简得，解得或， 所以直线或. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $