广东省清远市2024-2025学年高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中联合学业质量监测考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 c C B D B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD ACD AD 1.C因为每枚硬币都有正、反两种结果，所以将1枚硬币抛2次，一共可能出现4种结果，{正正}，{正反}，{反 正}，{反反}，其中恰好出现1次正面向上的结果有2种：{正反}，{反正}：所以恰好出现1次正面向上的概率 为-故选C 2.C因为直线的斜率为k=tana=一√3，所以a=120°.故选C 1-μ=-2 3.B因为若a、b,c共面，则a=b+4c,即(-2,1，m)=1(1,-1,0)十u(-1,2,n),故一入+2μ=1，解得 un=m 1=-3 =一1.故选B. (m十n=0 4.D因为l1∥l,所以2∥l,设直线l2的方程为x一y十m=0(n≠3且m≠一1).因为直线l1,2关于直线l对 称，所以与间的距离等于4：与间的距离.由两平行直线间的距离公式，得3-（一D=m-(一D √2 解得m=一5或m=3(舍去).所以直线l2的方程为x一y一5=0. 5.B圆C:x2+3y2一4y=0的方程可化为C:x2+(y-2)2=4,所以圆心C(0,2).则以PC为直径的圆的圆心为 (2,”"士).设以PC为直径的圆的半径为r,则=P四=6+”-2亚，所以以PC为直径的圆的方程 2 2 为(x一2)+(ym)=16+(m=2》.因为过点P(4,m)(m≠0)作圆C:x十y-4y=0的切点分别为 2 A,B,所以两圆的交点为A,B,即两圆的公共弦为AB.将两圆的方程相减可得直线AB的方程为4x十(m一 2-2m=0,即my-23+（4c-2)=0.令-2=0得 4x-2y=0 得y=2所以直线AB必过定点1,2》. 6C直线平分圆，则直线过圆心，闻a+b=1,所以日+号=（日+号）a+6)=3+合+会≥3+22（当且 仅当V2a=b时，取等号) 7.A令A正=a,AD=B武=b.A1A=CC-c,设AA=,由AC=Ai+AD+AA=a十b+c,等号两边分 别平方，利用向量的数量积得+2√21一16=0，解得t=2√2（或1=一42舍去），即AA=2√2 8.D对于A,C1:x2+y2一2x-4y一7=0和圆C2:(x+3)2十(y+1)=12,圆心和半径分别是C1,2), C2(-3,-1),R=23,R=23,则两圆心中点为(-1，号)，若圆C,和圆C关于直线8x+6y-5=0对 【高二·数学卷参考答案第1页（共6页）】 5098B 称，则直线是CC,的中垂线，但两圆心中点(-1，号)不在直线8x+6y一5=0上，故 A错误； 对于B,C1和C2的公共弦所在直线为8.x+6y+5=0,C1到直线8x十6y+5=0的距 离d=18++5-号，故公共弦长为2√2-（受）=√区，B错误： 10 对于C,圆心距为√(1+3)+(2+1)=5，当点P和Q重合时，|PQ的值最小，当 P,Q,C,C四点共线时，PQ的值最大为5+4V3,故|PQ的取值范围为[0,5+43]，C错误： 21=一1， 1一m 对于D,如图，设C关于直线x一y十8=0的对称点为A(m,n),则 解得m=一6·即C m十1_n+2+8=0 ln=9, 2 2 关于直线x一y+8=0对称点为A(-6,9),连接AC交直线于点M,此时|PM+|MQ1最小，|PM+ |MQ|≥|MC|+|MC2-43=|CA|-43=(-6+3)+(9+1)z-4V3=109-4√3，即 |PM+|MQ的最小值为√109-4v3,D正确， 9.ABD设事件A为“甲投中”，设事件B为“乙投中”，则事件A、B相互独立.A选项：都投中的概率为P(AB) =P(A)P(B)=0.6X0.6=0.36,故A正确：B选项：恰好有一人投中的概率为P(A)P(B)十P(A)P(B)= 0.6×0.4十0.4×0.6=0.48，故B正确：C选项：至少有一人投中，其对立事件为两人都未投中，故至少一人 投中的概率为1一P(A)P(B)=1一0.4×0.4=0.84，故C错误；D选项：至多有一人投中的对立事件为两人 都投中，故至多有一人投中的概率为1一P(AB)=1一0.36=0.64，故D正确.故选ABD. 10.ACD由C:x2+y2=1可知圆心为C(0,0),半径为1；由C2:(x-3)2+(y-4)2=产2(r>0)可知圆心为 C2(3,4),半径为r,两圆圆心距为|CC2=5: 对于A,当r=1时，r+1=2<|CC2|=5,圆C1与圆C2相离，所以A正确： 对于B,当r=2时，y=1与圆C1相切，圆心C2(3,4)到y=1的距离为3，即y=1与圆C2不相切，所以y=1 不是圆C与圆C的一条公切线，即B错误： 对于C,当r=4时，r十1=5=|CC2|,圆C1与圆C2外切，公切线有三种情况：①易知公切线山的方程为x =一1.②另一条公切线12与公切线山关于过两圆圆心的直线I对称.易知过两圆圆心的直线1的方程为y x=-1 /x=-1 4 x,由 4,得 y=3xy=一 ,三一4由对称性可知公切线么过点（一1，一专），设公切线么的方程为)十号 3 3 k(x十1)，则点O(0,0)到2的距离为1，所以1= ,解得友=司，所以公切线：的方程为)叶号= 父+1)，即7x一24y-25=0.③还有一条公切线4与直线4y 3r垂直，设公切线的方程为y= -是x十，易知>0，则点00.0)到6的距离为1，所以1 ，解得=号或1=一号 √(-)+(-1 (含去).所以公切线6的方程为y=一子+.即3十4y一5=0，综上，所求直线方程为=-1或7z 24y一25=0或3.x十4y-5=0.所以C正确. 对于D,当r=5时，r一1=4<CC2|=5<r+1=6,此时两圆相交，圆C2的一般方程为x2+y2-6x一8y= 0,与圆C的方程相减可得6.x十8y一1=0，D正确.故选ACD. 11.AD因为四边形ABCD正方形，故CB⊥AB,而平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF= AB,CBC平面ABCD,故CB⊥平面ABEF,而BEC平面ABEF,故CB⊥BE.设MC=λAC,则BN=aBF, 【高二·数学卷参考答案第2页（共6页）】 5098B 其中=a∈(0,1)，由题设可得-d+市+B亦=入A心+C+A-=a(B式-B)+店+a(Bi+B证) (以-1武+x硫对于A,当专即a号时，=一专成+号成=花故A正确：对于B,寸 =(以-1)+=2-2以+1=2（久-号）》'+号，放1≥号，当且仅当X=号即a=号时等号成立，故 |本=号，放B错误：对于C,平面ABEF的法向量为武且M·心=G以-1)C=X-1,放 Cos (MN.BC)=-A-1 ，此值不是常数，故直线MN与平面ABEF所成的角不恒为定值，故C错 √/2a2-2A+1 误：对于D,由M亦=(A-1)BC+AB,故M衣，BC,B配为共面向量，而MN丈平面BCE,故MN∥平面 BCE,故D正确.故选AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.0因A,B,C三点共线，则存在唯一实数k使AB-kAC,显然k≠0且k≠1，否则点A,B重合或点B,C重 合，则O成-Oi=k(O心-Oi),整理得(k-1)Oi+O范-kO元=0.存在三个不为0的实数a,b,c,使aOi+ bOB+cOC=0,此时a十b+c=k-1+1+(-k)=0. 13.土√2因为圆的方程为x2+y=4,所以圆心为(0,0)，半径为2.因为圆x2十y=4上恰有三个点到直线1 的距离都等于1，所以圆心到直线y=x十b的距离为1，即是=1.解得6=士2.故当6=士②时，圆上 √2 恰有三个点到直线1的距离都等于1. 14.[-2,-专U(号，2习当x>0时，曲线-(0y-=1x-1即-(y-=x-1,两边平方，整理 得(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1)，表示以C(1,1)为圆心，半径n=1的圆的右半圆：当x<0时，曲线 √-(y-1)7=x一1即√个-(y-1)=-x-1,两边平方，整理得(x十1)2+(y-1)2=1(.x≤-1)，表示 以C2(一1,1)为圆心，半径n=1的圆的左半圆.直线y=kx-2表示经过定点A(0,一2)、斜率为k的直线. 因此，直线y=k.x一2与曲线√/1一(y一1)=|x一1有两个不同的交点，就是直线 kx一y一2=0与两个半圆组成的图形有两个交点，当直线kx一y一2=0与右半圆 C有两个交点时，记点B(1,0),可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小 于该等于AB的斜率“作号<1且=学=2解得号<≤2当直 线虹一y一2=0与左半圆G有两个交点时，同理解得一2<k<一青，综上所述，实 数k的取值范围是[-2，一专)U(号，2， 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：1)选①：因为直线4x-3y十5=0的斜率为1=号，且直线4x-3y+5=0与直线1垂直， 所以直线1的斜率为k=一三 4 ……2分 依题意，直线1的方程为y+2=-是(x一1).即3十4y十5=0. …5分 选②：因为直线1的一个方向向量为a=(-4,3),所以直线1的斜率为k=一 4 …2分 依题意，直线1的方程为y十2=-子(x-10,即3x十4y十5=0： …5分 选⊙：因为直线3x十+2=0的斜率为k=一是，又因为直线1与3x+y+2=0平行， 【高二·数学卷参考答案第3页（共6页）】 5098B 所以直线1的斜率为k=一3 4 …2分 依题意，直线1的方程为y十2=-子(x-1),即3x十4y十5=0， …5分 (2)选①：圆x2+y=5的圆心O0,0)到直线3.x+4y十5=0的距离为d= 5 V3+4 =1,…9分 由圆的半径为r=5,可知|PQ=√2一E=4.… …13分 /3千厘=1，…9分 5 选②：圆.x2十y2=5的圆心O(0,0)到直线3.x十4y十5=0的距离为d= 由圆的半径为r=5,可知|PQ=√一E=4,…13分 选③：圆.x+y=5的圆心00,0)到直线3x十4y+5=0的距离为d=一5 √32+4平 =1，…9分 由圆的半径为r=5,可知|PQ=√一正=4.…13分 16.解：(1)取PD的中点G,连接AG,EG,如图. :G和E分别为PD和PC的中点， BG/CD,且EG=2CD, G 又，底面ABCD是直角梯形，CD=2AB,AB∥CD, .AB∥GE且AB=GE.即四边形ABEG为平行四边形， AG/∥BE,…3分 AGC平面PAD,BE过平面PAD, BE∥平面PAD.…5分 (2)因为AD⊥AB,AB∥DC,所以AD⊥CD, 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD,PA为平面PAD内两条相交直线， 所以CD⊥平面PAD,又PD在平面PAD内，所以CD⊥PD,…8分 因为E为PC的中点，所以点E到直线CD的距离为PD, …9分 因为AD=AP=2,所以PD=22, 所以E到直线CD的距离为2，…10分 (3)由(1)知AG∥BE,因为PA=AD,G为PD的中点，所以AG⊥PD,… 11分 由(2)知CD⊥平面PAD,AGC平面PAD,所以CD⊥AG, …13分 PD,CD为平面PCD内两条相交直线，所以AG⊥平面PCD,AG∥BE,所以BEL平面PCD,…14分 所以BE与平面PCD所成角为90°，其余弦值为0.…15分 1.解：1设一轮中三人全部同答正确”为事件M则P0=是×号×号=子 …2分 (2)甲在第一轮胜出的概率为子×号-子 …4分 甲在第二轮胜出，说明第一轮，第二轮中三人都回答正确，第三轮中丙回答错误， 故甲在第二轮胜出的概率为（子）×号一动 …6分 易知=(宁X号××=(x号-P=()×P=(}=(,P=()XP =()×号P,=(XP=()X号，P,=(})XP=(”… 所以当=3k(k∈N)时，P.=()×号；当n=3k+1k∈N)时，卫.=()：当n=3k+2(k∈N)时，P,= 【高二·数学卷参考答案第4页（共6页）】 5098B (x. …10分 同理可得，当n=3(k∈N)时，Q=(”×;当n=3k+1(k∈N)时，Q,=();当n=3k+2(k∈N)时， …13分 所以当n=3k(k∈N)时，Pm>Q;当n=3k+1(k∈N)时，P.=Q:当n=3k+2(k∈N)时P<Qm.… ……15分 18.(1)解：在直三棱柱ABC-ABC中，设点A到平面A,BC的距离为h, 4 解得h=√2， 所以点A到平面ABC的距离为②。…4分 (2)(i)证明：取AB的中点E,连接AE,如图，因为AA,=AB,所以AE⊥AB, 又平面A1BC⊥平面ABBA,平面ABC∩平面ABBA=AB, 且AEC平面ABB1A1,所以AE⊥平面ABC, 在直三棱柱ABC-A,BC中，BB,⊥平面ABC,BB⊥BC 由BCC平面ABC,BCC平面ABC,可得AE⊥BC, 又AE,BB1C平面ABBA且相交，所以BC⊥平面ABB1A1.…8分 ()解：由(1)可知：BC,BA,BB:两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标 系，如图，…9分 D 由(1)得AE=√2，所以AA=AB=2,AB=22,所以BC=2, 则A(0,2,0),A(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点 D(1,1,1), 则BD=(1,1,1),BA=(0,2,0),BC-(2,0,0), m·Bd=x+y十=0 设平面ABD的一个法向量m=(x,y,之)，则 m·BA=2y=0 可取m=(1,0,1),…12分 (n.BD=a+b+c=0 设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c),则 n.B-2a=0 可取=(0,1，—1，… 14分 则cos(m,m〉=Tm·1n2×2 m。n 2 …16分 所以二面角A-BD-C的正弦值为√厂（合）-号 …17分 19.解：(1)圆O:x2十y2=4的圆心为O(0,0),半径为2，…1分 因为直线41：y=x十b与圆O交于A,B两点，所以圆心O(0,0)到直线（的距离d= b V+(-1)元<2， 解得-2√2<b<2√2，所以实数b的取值范围为(-2√2,22). …3分 (2)当m=-4时，设A(y),B(2,2),则C(-4,),D(-4,2), x2+y2=4 消元整理得2.江2十2h江十一4=0，…5分 y=x+b 所以十=一b西=24， 2,y3业=刘2，…6分 【高二·数学卷参考答案第5页（共6页）】 5098B 所以|y-y|=√(1-x2)严=√(+2)2-4x2=V√8-F, 因为四边形ABDC为直角梯形. 所以四边形ABDC的面积SAx=号(AC十BD)一为…8分 =2(函十4++41M-=8-》8=E 2 …9分 (3)由A(,边)，B(x,),则C(m,y),D(m,),且直线AD、BC的斜率 存在，…10分 当6=m-1时，由(2)知，d十=-b=1-m,-24=-2m-3, 2 2 十m-1,2=x2十-1， 所以直线AD的方程为Y二业=二m,直线BC的方程为)二义=工一m y一y2x1一m 2一y1x2一n …13分 因为AD,BC相交，所以如≠c,即兴品子会1十≠2m 所以1一m≠2m,解得m≠号， 3， …14分 联立AD、BC的方程得，y=边西十y一m”一m业=十m-1)(0一m)十(2一m)(十m-1) x1+x2一2m x1十x2一2n =22一(+2)-2m(m-1) …15分 x1十x2-2n =m2-2m-3-1十m-2m(m-1)_m2-m+4 1-m一2m 3-1 m2-2n-3-m x=西-m十）+m+m=二此 =2 =2+2n+3 x1+2-2m 0十x2-2m1-m-2m 2(3m-1) ,……16分 所以2红-y1. 所以点E在定直线2x一y一1=0上运动.… …17分 【高二·数学卷参考答案第6页（共6页）】 5098B2024~2025学年度第一学期期中联合学业质量监测考试 高二数学 注意事项: 1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。 4.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 5.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.将1枚质地均匀的硬币抛掷2次,恰好出现1次正面向上的概率是 。 C D A.0 2.直线3x+V3y十3-0的倾斜角为 C.120* A.30* B.600 D.150* 3.已知空间向量a=(-2,1,m),b-(1,-1,0),c=(-1,2,n),若a、b、c共面,则n十n= C.1 A.-1 B.0 D.2 4.已知直线l:x-y十3-0,l。:x-y-1-0,若/.关于l。对称的直线为l,则直线l。的方程是 B.x-y十5-0 A.x-y-3-0 C.-y十3-0 Dx-y-5-0 5.已知过点P(4,m)(m≠0)作圆C:x*十y2-4y=0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则 直线AB必过定点 D.(1,) B.(1,2) A.(2.1) C.(1,1) C.3十2/2 A.2 B.5 D.42 7.在平行六面体(底面是平行四边形的校柱)ABCD一A.B.C.D.中,有 A.AB一 A.AD BAD=60*},AB-AD- ②,AC.-22,则AA= A.2/2 B.2 C.2 D.4 8.已知圆C:r+-2x-4y-7=0和圆C:(x十3)②+(y+1)=12交于两点,点P在圆C 上运动,点Q在圆C。上运动,则下列说法正确的是 A.圆C和圆C关于直线8x十6y-5一0对称 B.圆C和圆C。的公共弦长为223 C. PQ的取值范围为o,5+2③] D.若M为直线x-y+8-0上的动点,则|PM|+MQl的最小值为 109-4③ 【高二 数学卷 第1页(共4页)】 5098B 二、选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.甲、乙两人各投篮一次,若两人投中的概率都是0.6,且两人是否投中彼此互不影响,则下列 判断正确的是 A.两人都投中的概率是0.36 B.恰有一人投中的概率是0.48 C.至少有一人投中的概率是0.86 D.至多有一人投中的概率是0.64 10.已知圆C,r十=1,C:(x-3)十(y-4)=r(r0),则下列说法正确的是 A.当,-1时,圆C与圆C,相离 B.当,一2时,v=1是圆C与圆C,的一条公切线 C.当,-4时,圆C与圆C。有一条公切线是7x-24y-25-0 D. 当,一5时,圆C与圆C。的公共弦所在直线的方程为6x十8y-1=0 11.如图,边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,动点M,N 分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM一BN一a(0<a<②),则下列结论中正确 的有 A.a(o,v2),使MN-CE C.直线MV与平面ABEF所成的角恒为45* D. VaE(o.②),都存在过MN且与平面BEC平行的平面 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知A,B.C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不全为0的实数a,b,c使aOA+bOB 十cOC-0,那么a十6十c的值为 13.已知圆x^{*}十三4,直线l:y三x十b,圆上恰有三个点到直线/的距离都等于1,则6 14.已知直线y=x-2与曲线v1-(y-1)^{}-x-1有两个不同的交点,则实数的取值范 围是 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答 ①与直线4x-3y十5-0垂直;②直线的一个方向向量为a-(-4,3);③与直线3x十4y+2 一0平行. 已知直线/过点P(1,一2), (1)求直线/的一般方程; (2)若直线/与圆x2十一5相交于P、Q,求弦长PQ 【高二 数学卷 第2页(共4页)】 5098B 16.(本小题满分15分) 如图,在四 锥P一ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD |AB,AB/DC,PA|.底面 ABCD,点E为楼PC的中点,AD=DC=AP-2AB-2 (1)证明:BE/平面PAD; (2)求点E到直线CD的距离 (3)求直线BE与平面PDC所成角的余弦值 17.(本小题满分15分) 甲、乙、丙三人参加竞答游戏,一轮三个题目,每人回答一题,为体现公平,制定如下规则 ①第一轮回答顺序为甲、乙、丙,第二轮回答顺序为乙、丙、甲,第三轮回答顺序为丙、甲、乙 第四轮回答顺序为甲、乙、丙,......,后面按此规律依次向下进行 ②当一人回答不正确时,竞答结束,最后一个回答正确的人胜出 回答每个问题相互独立 (1)求一轮中三人全部回答正确的概率 (2)记P.为甲在第轮胜出的概率,Q.为乙在第n轮胜出的概率,求P.与Q,并比较P。与Q 的大小. 【高二 数学卷 第3页(共4页)】 5098B 18.(本小题满分17分) 如图,直三梭柱ABC一A.B.C.的体积为4,△A.BC的面积为22 (1)求A到平面A.BC的距离; (2)设D为AC的中点,AA=AB,平面A.BC 平面ABBA (i)证明:BC 平面ABBA (ii)求二面角A-BD一C的正弦值 19.(本小题满分17分) 已知圆O:x^*}十v2}=4,直线/:v=x+与圆O交于A,B两点,过A,B分别作直线l。:x=$ (nER)的垂线,垂足分别为C,D(C,D分别异于A,B). (1)求实数的取值范围; (2)若n二一4,用含b的式子表示四边形ABDC的面积; (3)当b一n一1时,若直线AD和直线BC交于点E,证明点E在某条定直线上运动,并求出 该定直线的方程 【高二 数学卷 第4页(共4页)】 5098B