期中检测04（能力卷） 2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

期中检测04（能力卷） 检测范围：必修第一册第一章、第二章、第三章 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一上·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．（22-23高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 4．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·山西·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④； 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（    ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 8．（22-23高一上·重庆渝中·期中）形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（    ） ①函数的定义域为； ②； ③函数的图象关于直线对称； ④当时，； ⑤方程有四个不同的根（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·江苏南通·二模）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　） A．为偶函数 B．为偶函数 C． D． 10．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 11．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（    ） 注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）. A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·河南·阶段练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为 . 13．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 14．（23-24高一上·北京·阶段练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是 . ①M没有最大元素，N有一个最小元素； ②M没有最大元素，N也没有最小元素； ③M有一个最大元素，N有一个最小元素； ④M有一个最大元素，N没有最小元素；四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·云南德宏·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)当B为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. (15分) （2023高三·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 17. (15分) （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若，求不等式的解集. 19. (17分) （23-24高一上·上海松江·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A C A D A ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【详解】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 2．B 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 3．A 【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果. 【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以且， 由，得或， 当时，，满足题意； 当时，足，不符合题意. 综上. 故选：A. 4．A 【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可. 【详解】由，解得， 所以， 又由，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件， 所以集合真包含于， 所以，解得， 经检验，时，，满足题意； 时，，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故选:A. 5．C 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 6．A 【分析】根据题意，分段建立方程，可得临界点，作图，可得答案. 【详解】由题意，令，解得或， , 则作图如下：    由图可得不等式的解集是. 故选：A. 7．D 【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可. 【详解】①，而，故①不是集合X上的拓扑的集合； ②，满足：①X属于，属于； ②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于， 因此②是集合X上的拓扑的集合； ③，满足：①X属于，属于； ②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于， 因此③是集合X上的拓扑的集合； ④，而，故④不是集合X上的拓扑的集合； 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②③. 故答案为：D. 8．A 【分析】 由求定义域、将自变量代入求值判断①②，应用特殊值得，，即可判断③，写出分段函数形式研究其单调性，进而求值域即可判断④，应用数形结合判断与在上交点个数即可判断⑤. 【详解】①由解析式知：，所以，故定义域为，错误； ②，所以，正确； ③由解析式知：，，即，故的图象不关于对称，错误； ④由， 所以有，在上递增，上递减， 则上，上，故值域为， 所以，正确； ⑤有两个根，即与在上有四个交点， 在上递增且值域为； 在上递增且值域为； 在上递减且值域为； 在上递减且值域为； 而在上递减，上递增且值域为， 所以它们的函数图象如下图示： 由图知：与在上有四个交点，正确. 正确的命题有②④⑤. 故选：A 9．ACD 【分析】由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项一一判断即可得出答案. 【详解】令，则，注意到不恒为， 故，故A正确； 因为的图象关于点(2，0)对称，所以， 令，得， 故，故B错误； 令，得， 令，得，故， 从而，故, 令，得，化简得，故C正确； 令，得，而，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， 10．ACD 【分析】分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集. 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 11．BCD 【分析】根据的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由于,所以 故，故A错误， 对于B，若,则，此时满足， 若且时，， 若且时，， 若且时，， 综上可得，故B正确， 对于C， 而， 由于，所以 故,C正确， , 当时，此时中至少一个为1，所以， 当时，此时均为0，所以， 故,故D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：充分利用的定义以及的定义，由此可得时，此时均为0，时，此时中至少一个为1，结合的定义化简求解. 12． 【分析】分离参数把不等式有解问题转化为，利用二次函数求出最值，利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为在内有解，即，其中； 设，则当或时，，所以， 解得，所以的取值范围为. 故答案为： 13． 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式恒成立， 所以， 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号是成立的， 所以，所以，即， 解得. 故答案为： 14．③ 【解析】根据新定义，并正确列举满足条件的集合，判断选项. 【详解】①若，，则集合没有最大值，中有最小元素0，故①正确； ②若，，则中没有最大元素，也没有最小元素，故②正确； ③假设③正确，则中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故③不正确； ④若，，集合有最大值，没有最小值，故④正确； 故答案为：③. 【点睛】本题是创新型题型，以新定义为背景，考查有理数集的交集和并集，属于中档题型，本题的关键是理解题中的新定义，并合理举例. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）分别求出集合，然后计算，最后； （2）由题意知集合是集合的真子集，建立不等式组求解即可. 【详解】（1）∵ ， ∴ ． 当时，． ∴， 所以，或． （2）∵为非空集合，是的充分不必要条件， 则集合是集合的真子集， ∴ ，   解得：， ∴m的取值范围是． 16．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 17．(1) (2) 【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）将的替换为得， 联立 解得 （2）不等式为，化简得， 要使其在上恒成立，则， ， 当且仅当取等，所以． 18．(1)，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论； （2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用的单调性可得，分类讨论可求不等式的解集. 【详解】（1）因为，都有， 所以令，得，则， 因为时，， 所以当时，，则， 令，得， 所以，证毕. （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设，则，， 令， 则，所以， 即，所以在上单调递减； （3）由，得， 又，所以， 由（2）知在上单调递减， 所以，所以， 所以， 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 综上所述：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【点睛】思路点睛： 1，对抽象函数求函数值的题型，主要是赋值法， 2，解含参数的不等式，通常是对参数分类讨论求得不等式的解集. 19．(1)答案见详解 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， . （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测04（能力卷） 检测范围：必修第一册第一章、第二章、第三章 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一上·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．（22-23高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 4．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·山西·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④； 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（    ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 8．（22-23高一上·重庆渝中·期中）形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（    ） ①函数的定义域为； ②； ③函数的图象关于直线对称； ④当时，； ⑤方程有四个不同的根（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·江苏南通·二模）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　） A．为偶函数 B．为偶函数 C． D． 10．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 11．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（    ） 注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）. A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·河南·阶段练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为 . 13．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 14．（23-24高一上·北京·阶段练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是 . ①M没有最大元素，N有一个最小元素； ②M没有最大元素，N也没有最小元素； ③M有一个最大元素，N有一个最小元素； ④M有一个最大元素，N没有最小元素；四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·云南德宏·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)当B为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. (15分) （2023高三·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 17. (15分) （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若，求不等式的解集. 19. (17分) （23-24高一上·上海松江·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$