精品解析：江苏省扬州市江都区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题

2024—2025学年度高二上学期数学 期中测试 2024.11 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 2. 对于任意的实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，联立方程组可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 3. 双曲线的焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得解. 【详解】由已知双曲线的焦点为，则 双曲线方程为， 则， 解得， 故选：A. 4. 已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得圆心和半径，进而可得，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆：和圆：， 可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为，即， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C. 5. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 6. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线为，利用点求得，进而确定正确答案. 【详解】由题可设双曲线方程为且， 又在双曲线上，所以， 则双曲线的方程是，即． 故选：B． 7. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得，根据圆的方程圆心到直线的距离为，进而可得点到直线的距离的取值范围和面积的取值范围. 【详解】由直线可知，则， 由圆可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 设点到直线的距离为， 则，即， 所以面积. 故选：C. 8. 设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可知，结合椭圆定义及斜率与倾斜角的关系可得，，结合勾股定理可得离心率. 【详解】 设椭圆右焦点为，连接，， 由，则为直角三角形，， 由已知直线的斜率为， 则，即， 又，则，， 在中由勾股定理得， 即， 整理可得离心率， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 【答案】AD 【解析】 【分析】将化简得，根据截距的定义可判断A，结合一次函数的性质即可判断D；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线垂直的计算公式运算即可. 【详解】对AD，直线：，即， 所以在轴上的截距为，故A正确； 若不经过第二象限，则，解得，故D正确； 对B，当时，此时直线， 两条直线重合，故B错误； 对C，若，则，解得，故C错误； 故选：AD. 10. 已知圆：，点，则下列结论正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 圆上动点到点距离的最大值为 C. 过点作圆的切线，则切线方程为或 D. 过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方程可得圆心和半径.对于A：求，并与半径比较即可；对于B：根据圆的性质分析求解；对于C：分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解；对于D：可得其中一个切点，根据可知直线的斜率，即可得方程. 【详解】圆：的圆心为，半径， 对于选项A：因为，可知点在圆外，故A正确； 对于选项B：圆上动点到点距离的最大值为，故B错误； 对于选项C：若直线的斜率不存在，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 则，解得，所以直线方程为； 综上所述：切线方程为或，故C正确； 对于选项D：直线与圆切与点，记为点A，且直线的斜率， 因为，可知直线的斜率， 所以直线的方程为，即，故D错误； 故选：AC. 11. 如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若双曲线的方程是，则 C. 若，则 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆、双曲线的定义运算求解即可；对于B：可得，结合选项A可得，，即可得结果；对于C：根据题意利用余弦定理分析可得，即可得离心率；对于D：根据余弦定理结合椭圆、双曲线的定义整理可得，进而可求面积. 【详解】对于选项A：由椭圆：可知，即， 双曲线：可知， 且点在第一象限，则，解得，故A正确； 对于选项B：若双曲线的方程是，则， 可得，，则，即， 所以，故B正确； 对于选项C：若， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以，故C错误； 对于选项D：在中，由余弦定理可得， 结合椭圆定义可得， 即，整理可得， 结合双曲线的定义可得， 即，整理可得， 则，且为锐角，可得， 所以的面积为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二元二次方程与圆的一般式方程之间的关系直接列式求解即可. 【详解】若方程表示圆， 则，即，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两直线平行确定的值，再利用平行线间的距离公式求平行线间的距离. 【详解】因为直线与平行，所以，解得. 所以：即. 所以直线与之间的距离为：. 故答案为：2 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，，，. （1）求中，边上的中线所在直线的方程； （2）求中，边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式可得线段的中点为，利用两点式方程即可得结果； （2）根据垂直关系可得高所在直线的斜率为，利用点斜式方程即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：线段的中点为， 则边上的中线所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）易知圆心在的中垂线上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可. 【小问1详解】 由，，则中点为，， 易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率， 则中垂线方程为，即， 联立，解得， 即圆心， 半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 则弦长为， 解得，即直线； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，弦长为成立； 综上所述，直线的方程为或. 17. 已知椭圆：（）经过点，焦距为，过点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据焦距和点列式求，即可得椭圆方程； （2）由题意可知：直线的方程，联立方程求点的坐标，即可得，以及点到直线的距离，即可得面积 【小问1详解】 因为焦距为，即，可得， 又因为点在椭圆：上，即， 联立方程，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：直线，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则， 且点到直线的距离， 所以的面积. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程； （2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程. 【小问1详解】 由已知，，动点满足， 则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义， 即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线， 即轨迹方程为； 【小问2详解】 ①设点，，中点， 则，， 又点，在曲线上， 则，作差可得， 即， 则； ②设直线， 联立直线与双曲线，得， 恒成立， 且，， 又，，， 则， 则，， 所以， 解得，， 即直线方程为， 即或. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. （1）求椭圆的方程； （2）设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； （3）求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：圆的圆心为，半径为， 设切线方程为，则 ，即 因为两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值. （3）证明：联立方程 ，消掉得， 设，则， 同理可得 ， 则， 可得直线方程为， 令，得， 所以故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程； （2）根据切线性质解得点到直线的距离公式整理可得，结合韦达定理分析证明； （3）联立方程求点的坐标，进而可得直线的方程，结合方程分析定点. 【小问1详解】 因为 椭圆的上顶点为，离心率为 则 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高二上学期数学 期中测试 2024.11 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 2. 对于任意的实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 10. 已知圆：，点，则下列结论正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 圆上动点到点距离的最大值为 C. 过点作圆的切线，则切线方程为或 D. 过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为 11. 如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若双曲线的方程是，则 C. 若，则 D. 的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______. 13. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，，，. （1）求中，边上的中线所在直线的方程； （2）求中，边上的高所在直线的方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知椭圆：（）经过点，焦距为，过点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 19. 如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. （1）求椭圆的方程； （2）设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； （3）求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $