精品解析：天津市河北区2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷

河北区2024-2025学年度高三年级第一学期期中质量检测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 第I卷（选择题共45分） 注意本项： 1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 圆柱的侧面积公式 圆锥的侧面积公式 其中表示底面圆的半径表示母线的长 一､选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式求得集合，再求，最后求即可. 【详解】由，可得，即， 则或，故. 故选：C. 2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：若直线与直线平行，则且，解得， 所以推得出直线与直线平行，即充分性成立； 由直线与直线平行推不出，即必要性不成立； 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇偶性排除CD,再代入特值验证即可. 【详解】因为函数的定义域为, 且, 所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD. 又,排除B. 故选:A. 4. 某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（ ） A. 240 B. 180 C. 96 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】算出所求区间的频率乘以总人数即可估计. 【详解】由频率分布直方图可知，自习时间在区间[22.5，27.5）内的频率为， 所以自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为． 故选：A． 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以， 所以. 故选：B. 6. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，可知， 则圆锥的母线长为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B. 7. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，求出点和的坐标，利用中点坐标公式列式计算得关系，进而可得渐近线方程. 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 直线与直线交于点，交双曲线于点， 由M是线段的中点，得，则，， 所以C的渐近线方程为. 故选：C 8. 若函数的图象关于点对称，则的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式将的表达式化简，根据图象关于点对称，求出的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数的单调增区间． 【详解】 ， ∵图象关于点对称， ∴, ∴，（）， ∵，∴， ∴， 由（）， 解得：（）， ∴函数的增区间为． 故选：C． 9. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围. 【详解】函数的定义域为， 若时，由求导得，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，当时，； 若时，由求导得，， 因，故恒有，即在上单调递增， 且当时，，当时，，即时，恒有. 作出函数的大致图象如图所示. 又由可得或， 由图知有两个根，此时有2个零点； 要使函数恰有5个不同的零点， 需使有3个零点，由图知，需使，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决. 第Ⅱ卷（非选择题） 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上. 10. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简计算求得复数，即得其对应的点的坐标. 【详解】因， 故复数在复平面内对应点的坐标是. 故答案为：. 11. 二项式的展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，写出二项式的通项，由求得值代入即得. 【详解】二项式的通项为， 由可得，即得二项展开式中的常数项为. 故答案为： 12. 若直线与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 【答案】. 【解析】 【分析】结合已知条件分别求出A、B的坐标，然后分别求出圆心和半径即可求解. 【详解】不妨设直线与轴和轴的交点分别为A，B， 令，得，即；再令，得，即， 从而线段AB的中点为，且为所求圆的圆心， 又因为，所以所求圆的半径为， 从而以线段AB为直径的圆的方程是. 故答案为：. 13. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据余弦函数的性质即可得解. 【详解】由题意， 因为，所以，所以， 所以函数在区间上的值域为. 故答案为：. 14. 为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】令事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，由条件概率公式得出第一空，由X的可能取值以及对应概率得出期望. 【详解】设事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者” ，则， 即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是. X可取， ， 则 故答案为：； 15. 已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【详解】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之间的关系，再由即可得出结果. 三､解答题：本大题共5小题，共5分､解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知式，再由余弦值求角即得； （2）由的面积为推出，利用求得，最后利用余弦定理求得边； （3）由余弦定理求得，继而求得，再利用差角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 因和正弦定理，， 又，所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以， ； 【小问2详解】 因，解得， 又因，即，代入上式可得：，解得，故， 由余弦定理得，， 故得； 【小问3详解】 由（2）已得，，， 由余弦定理，可得 因且，故, 所以 17. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：如图，以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系则. 设平面的法向量为， 则取 所以所以 又因为平面，所以平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出与平面的法向量垂直，又因为平面，可证平面 （2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式，求出平面与平面的夹角的余弦值. （3）求出的坐标与平面的法向量，利用向量点乘求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为 则取 设平面与平面的夹角为 则 所以平面与平面的夹角的余弦值为 【小问3详解】 设点到平面的距离为 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与交于，两点，的周长为. （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程； （3）若与交于，两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求得，即可求解； （2）由题意设，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，结合的面积建立方程，计算即可求解； （3）由（2）可得，进而求得，则 ，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以，故的方程为. 【小问2详解】 若的斜率为，则共线，与条件矛盾， 所以的斜率不为0，设，，， 联立，得， 所以，. 所以， 由，解得， 所以的方程为或. 【小问3详解】 由（2）可知， 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 同理可得. 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 19. 已知函数在处取得极小值. （1）求的值； （2）求函数在点处的切线方程； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可； （2）根据导数的几何意义求解切点坐标与切线斜率，即可得切线方程； （3）构造函数，求导得到函数的单调性，即可求解最值求解． 【小问1详解】 由，可得， 由，解得，此时， 时，单调递减， 时，单调递增， 故是函数的极小值点，符合题意，所以. 【小问2详解】 由题可得：， 在点处的切线方程为即 【小问3详解】 由恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 20. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）； （ii）证明：不妨设，则，且． 法一：当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二：设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 【小问2详解】 （i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是． （ii）略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2024-2025学年度高三年级第一学期期中质量检测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 第I卷（选择题共45分） 注意本项： 1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 圆柱的侧面积公式 圆锥的侧面积公式 其中表示底面圆的半径表示母线的长 一､选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（ ） A. 240 B. 180 C. 96 D. 80 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象关于点对称，则的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 9. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上. 10. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________. 11. 二项式的展开式中的常数项为__________. 12. 若直线与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 13. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域______. 14. 为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则________. 15. 已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为__________. 三､解答题：本大题共5小题，共5分､解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与交于，两点，的周长为. （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程； （3）若与交于，两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值. 19. 已知函数在处取得极小值. （1）求的值； （2）求函数在点处的切线方程； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $