精品解析：江苏省盐城市射阳县陈洋中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

陈洋中学2024年秋学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150 命题人：于正红 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将考试号填涂在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角 【详解】由方程可得， 又，所以， 故选：B 2. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 故选：D 3. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设直线方程为，代入原点即可. 【详解】设与垂直于直线的直线方程为， 若直线过原点，则， 所以所求直线方程为. 故选：B. 4. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 5. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（    ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心间距离及半径的关系判断两圆位置关系，进而确定公切线条数. 【详解】由，圆心，半径， ，圆心，半径， 则， 所以两圆外切，有条公切线， 故选：C. 6. 设，若直线与圆C：相离，则点与圆C的位置关系是（ ） A. 在圆C外 B. 在圆C上 C. 在圆C内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相离可得，进而判断点与圆的位置关系. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 若直线与圆C：相离， 则圆心到直线的距离，整理可得， 则，所以点在圆C内. 故选：C. 7. 已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【详解】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 8. 过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求以为直径的圆的方程，再让两圆相减得到直线的方程，即可求解直线所过的定点. 【详解】以为直径的圆的方程为， 即，圆， 两圆方程相减就是直线的方程，即可， 整理为， 联立，得， 所以直线恒过定点. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线过点 B. 直线与直线垂直 C. 原点到直线的距离为1 D. 直线与直线的交点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将点代入直线方程成立，可判断A正确，根据两条直线的斜率之积为，可判断垂直，B正确，利用点到直线的距离公式可求得C错误，联立两条直线方程可得交点坐标，可判断D正确. 【详解】将点代入方程成立，故正确； 直线的斜截式方程为：，斜率为，直线斜率为，，垂直，故正确； 原点到直线的距离为，故错误； 由解的，故正确. 故选：. 10. 已知直线与圆，若点P为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆C相离 B. 圆C关于直线l对称的圆的方程为 C. 若点Q为圆C上的动点，则的取值范围为 D. 圆C上存在两个点到直线l的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离即可求解ACD，设圆C关于直线l对称的圆的圆心为，结合对称性质列出方程组求解，进而判断B. 【详解】对于A，由圆，则圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 故直线l与圆C相离，A正确； 对于B，设圆C关于直线l对称的圆的圆心为， 则，解得，，即所求圆的圆心为， 所以圆C关于直线l对称的圆的方程为，B错误； 对于C，圆上的点Q到直线的最小距离为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，由于圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为， 而，故圆C上存在两个点到直线l的距离为，D正确， 故选：ACD. 11. 已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的值可以为3 D. 若的面积为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A项，根据方程求出即可得出离心率；B项，作出图象，利用几何知识即可得出结论；C项，利用几何知识即可知道的取值范围，进而得出结论；D项，求出点的位置，分别得出，即可得出结论. 【详解】由题意， 在中，， A项，离心率，故A正确； B项，如图所示， 由对称性知，， ，故B错误； C项，由几何知识得， ,即， 因为，故C错误； D项，设， ∴， 当的面积为时，， 由几何知识得，，解得： 当，即时，此时，， ∴， ∴， 当，即时，同理可得，， 故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若直线与直线平行，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程为，再由截距即可求解. 【详解】由题意可设直线的方程为， 因为它在轴上的截距为4，故， 所以直线的方程为， 故答案为： 13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解. 【详解】由题意可得解得，故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则______． 【答案】 ①. 36 ②. 【解析】 【分析】根据题意，运用离心率的计算公式求解即可；联立直线和椭圆方程，求出A点的横纵坐标，进而得到，结合题意及，化简即可. 【详解】椭圆是"西瓜椭圆"， 离心率， 解得. 设， 联立消去并整理得 ， ，即， ， ，易知， 以线段为直径的圆经过点， ，， ，，又， 代入上式并化简得，解得. 故答案为：36， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 三角形的三个顶点是． （1）求直线方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两点式即可求解； （2）由垂直关系确定斜率，再由点斜式即可求解； （3）确定中点坐标，再由两点式即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知， 则根据直线两点式方程可得，即； 【小问2详解】 设高BD所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由（1）知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由直线点斜式方程可得， 即，这就是所求的直线方程； 【小问3详解】 由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为， 即. 16. 已知直线过定点． （1）求点的坐标； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （3）设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将方程转化成即可求解； （2）分截距为和不为两类情况讨论即可； （3）设，，通过代入法即可求解； 【小问1详解】 由，得， 令，得， 因此点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）知点的坐标. 若截距为，即直线经过原点， 设直线方程为，则， 此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得， 此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． 【小问3详解】 设，，则， 得到，所以， 又点在上，所以， 整理得， 故的轨迹方程为. 17. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【小问1详解】 由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 【小问2详解】 ，∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴ 18. 已知圆． （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 【答案】（1）； （2）①3，； ②证明：设直线方程为，， 由消去得，则， 直线斜率，直线的斜率， 依题意，，整理得， 即有，化简得，经验证的， 因此直线：恒过定点， 所以直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）判断给定点在圆上，求出经过切点的半径所在直线的斜率即可求解出切线方程. （2）①利用三角形面积公式可得时，三角形面积最大，再结合点到直线距离公式求出直线方程；②设出直线方程，与圆的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算推理即得. 【小问1详解】 由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为 因此所求切线斜率为，方程为，即. 【小问2详解】 ①显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，而圆半径为， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时圆心到直线的距离， 因此，解得，直线：，即， 所以的面积最大值为3，直线的方程为. ②略 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 即椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去y得： 设两交点，则有 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ; ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：由 且， 解得 设两交点， AB中点，则有 所以 即 整理得 又因为 所以 当且仅当时，所以， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陈洋中学2024年秋学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150 命题人：于正红 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将考试号填涂在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 3. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（    ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 6. 设，若直线与圆C：相离，则点与圆C的位置关系是（ ） A. 在圆C外 B. 在圆C上 C. 在圆C内 D. 不能确定 7. 已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线过点 B. 直线与直线垂直 C. 原点到直线的距离为1 D. 直线与直线的交点为 10. 已知直线与圆，若点P为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆C相离 B. 圆C关于直线l对称的圆的方程为 C. 若点Q为圆C上的动点，则的取值范围为 D. 圆C上存在两个点到直线l的距离为 11. 已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的值可以为3 D. 若的面积为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若直线与直线平行，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为______． 13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 三角形的三个顶点是． （1）求直线方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程． 16. 已知直线过定点． （1）求点的坐标； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （3）设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 17. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 18. 已知圆． （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $