数列中的有关奇偶项问题（一）专题讲义-2025届高三数学一轮专题复习

数列中的有关奇偶项问题（一） 数学组 xxx 1、 【高考考情】 数列是高中数学中非常重要的一个知识点,也是高考必考的内容.与数列有关的题目类型较多,其中,分奇偶项求和问题比较常见.此类问题中奇数项和偶数项的通项公式一般会有所不同,要解答此类问题,我们需要灵活运用分类讨论思想和分组求和方法. 二、【教学目标】 1.理解数列中的奇数项和偶数项的概念。学生能够理解什么是数列中的奇数项和偶数项，能够识别给定数列中的奇数项和偶数项。 2.掌握奇偶项的规律。学生能够识别数列中奇数项和偶数项的规律，能够根据数列的递推公式推导出奇数项和偶数项的通项公式。 3.奇偶项的运算。学生能够对数列的奇数项和偶数项进行求和等运算，能够运用奇偶项的性质简化数列求和问题。 三、【解题思路】 解答此类问题的基本思路: (1)结合题意寻找数列中奇数项和偶数项的规律,分别求出它们的通项公式.在求通项公式时,要注意把数列的项数间隔开. (2)将数列分成奇数项和偶数项两组,分组进行求和. (3)将所得的结果汇总、化简,便可求得数列的和. 4、 【典例精讲】 题型1 数列中相邻两项和或积的问题( an+an+1=f(n) 或 an · an+1=f(n) ) 【例1】　已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. （1）证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； （2）若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3（an＋1＋an）， 因为{an}中各项均为正数， 所以an＋1＋an＞0，所以＝3， 所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列. （2）由题意知an＋an＋1＝（a1＋a2）3n－1＝2×3n－1， 因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2－3an＋1＝－（an＋1－3an），因为a2＝3a1， 所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an， 所以4an＝2×3n－1，an＝×3n－1. (解法二)解: ， 所以， 为奇数， + n为偶数， 综上， 练习1、已知数列 满足 , 求数列 的通项公式. 解：因为 +1 所以， (1) 为奇， (2) 为偶， 【例2】已知数列 满足 , 求数列 的通项公式. 解：由题意得 所以 (1) n为奇数， (2) n为偶数， = = 练习2、已知数列 的前 项的和为 , 前 项的积为 , 则下列结论正确的是 ( BCD) A. B. C. D. 题型2 含有(-1)n类型 【例3】已知数列{an}满足a1＝2，a2＝4，an＋2－an＝（－1）n＋3，则数列{an}的前10项和为　 90 　. 练习3.（2024·泉州模拟）已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝2，－2an＋1＝＋2an. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝（－1）nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20. 解：（1）因为－2an＋1＝＋2an， 所以（an＋1＋an）（an＋1－an－2）＝0， 因为{an}是各项均为正数的数列，所以an＋1－an＝2， 所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝2n（n∈N*）. （2）由（1）得bn＝（－1）nan＝（－1）n·2n， 则b1＋b2＋b3＋…＋b20＝（b1＋b3＋…＋b19）＋（b2＋b4＋…＋b20）＝－2×（1＋3＋…＋19）＋2×（2＋4＋…＋20）＝－2×＋2×＝－200＋220＝20. 题型3 含有{a2n}、{a2n-1}类型 【例4】已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n（n∈N*），a2n＋1＝a2n＋（－1）n（n∈N*），则数列{an}的第2 024项为（　B　） A.21 012－2　 B.21 013－3 C.21 011－2　 D.21 011－3 练习4、（2024·杭州模拟）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝20，＝a2a5. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足b1＝1，bn＋bn＋1＝（，求数列{b2n}的前n项和. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由题意，知 解得所以an＝2n－2. （2）由（1）得bn＋bn＋1＝2n－1，　① 所以b1＋b2＝1，又b1＝1，所以b2＝0. 当n≥2时，bn－1＋bn＝2n－2，　② ①－②，得bn＋1－bn－1＝2n－2，则bn－bn－2＝2n－3（n≥3）.所以b2n－b2n－2＝22n－3，b2n－2－b2n－4＝22n－5，…，b4－b2＝21， 累加，得b2n－b2＝（4n－1－1）（n≥2）， 所以b2n＝（4n－1－1）（n≥2），又b2＝0符合上式，所以b2n＝（4n－1－1）（n≥1）. 所以数列{b2n}的前n项和为b2＋b4＋…＋b2n＝·4n－－. 5、 【课后作业】 1．（2021·全国·新高考1卷T17）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 2.数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 【变式1】求数列数列的通项公式; 【变式2】求数列的前项和. 【答案】2191 【解析】数列是以公差的等差数列; . ,数列是以公比的等比数列; . . 故答案为：2191. 3.记为数列的前n项和，当时,．且． (1)求，； (2)（i）当n为偶数时，求的通项公式； （ⅱ）求． 【解析】（1）令，可得； 令，可得； 因为，可得，. （2）（i）当n为偶数时，则，， 可得，且， 可知数列的偶数项成首项为，公比为的等比数列， 则，所以（n为偶数）； （ⅱ）当n为偶数时，则，即， 可得， 所以 ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$