上海市晋元高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市晋元高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 （本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 等比数列中，，则______. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 3. 已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为______. 4. 已知，，若与互相平行，则实数的值是__________． 5. 已知，，则的值为__________. 6. 若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 7. 已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过______分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 8. 如图为函数的部分图象，则______. 9. 小张和小李同学在玩数字游戏，在一张空白纸上依次写有这211个自然数，然后小张划掉最前面的4个数1，2，3，4，并将它们的和10写在数列的最后，然后小李继续划去5，6，7，8这4个数，并将其和26写在10的后面.两人依次操作，假设他们俩在计算和操作都正确的情况下，最后将剩下一个数，该数为______. 10. 已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围______. 11. 如图，四边形ABCD中，已知，则对角线AC的长为______. 12. 已知函数，其中常数，若的最大值记为，则的最小值为______. 二、选择题（单选，13-14每题答对得4分，15-16答对每题得5分，满分18分） 13. 设，，，均为非零常数，不等式和的解集分别为、，则“”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 复数方程解的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 15. 一个棱长为1的正方体盒子，则下列几何图形能否单独完全装入盒子（ ） ①长度为1.7的线段；②面积为1的圆；③体积为0.3的正四面体 A. 仅①② B. 仅①③ C. 仅②③ D. ①②③都可以 16. 已知点均在圆上，若有，则必有平分圆O.则满足要求的的个数为（ ） A. 0个 B. 仅有1个 C. 仅有2个 D. 3个或以上 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共78分） 17. 已知函数，其中常数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，试比较与的大小. 18. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 19. 在中，角的对边分别为，已知， , 且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，面积为 ，试判断的形状，并说明理由. 20. 如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. （1）求异面直线EF与BC所成角的大小； （2）求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； （3）若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小． 21. 已知函数. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. 上海市晋元高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 （本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】9 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】3 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】104 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】22366 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（单选，13-14每题答对得4分，15-16答对每题得5分，满分18分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共78分） 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知 ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]： 由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）. 【19题答案】 【答案】（1） ；（2）为等边三角形． 【20题答案】 【答案】（1）； （2） 五边形为所求截面，易知， 则由等角定理知：，； （3）. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $