江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

江西师大附中高二年级数学期中考试卷 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线3x-(a-2)y-2=0与直线x+ay+8-0互相垂直,则a-( ) A.1 B.-3 C.-1或3 D.-3或1 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.如图,空间四边形OABC中,04-ā,OB-,OC-点M在OA上, 且OM=2MA,点N为BC中点,则MN=( ) A. 2 B.一 2 4. 点E,E为圆C的两个焦点,若圆C上存在点P,使得乙EPE.-90^,则圆 C方程可以是( ) _=1 5. 若2x-1-(x-2)+y2,则x2+y2的最小值为( ) B.2 A.1 C.4 D. 6.若实数×y满足(x-2){}+v*=1:则下列结论错误的是( #C._## A. 2x+y4+5 D 2x-y5 412 <FMF,角平分线的垂线,垂足为N.O为坐标原点,则ION() B.2 C.3 A.4 D.1 分别为A.B,则直线AB称作点P关于圆C的极线,其方程为1. 现有如图所示的两个圆C,C,离心率分别为e,e,C.内含于C,圆C 上的任意一点M关于C.的极线为l,若原点O到直线/的距离为1:则e^}-e 的最大值为() ###2 C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9. 关于曲线E:nx2+ny2=1,下列说法正确的是( ) A.若曲线E表示两条直线,则m-0,">0或n=0,m>0 B. 若曲线E表示圆,则m=”0 K. 若曲线E表示焦点在x轴上的圆,则n>”( D. 若曲线E表示双曲线,则mn<0 10. 已知圆O:x2+?-4,则( ) A. 圆O与直线mx+y-mi-1-0必有两个交点 B 圆O上存在4个点到直线/:x-y+2-0的距离都等于1 C. 若圆。与圆x2+v-6x-8y+m=0恰有三条公切线,则n=16 $$ D 已知动点P在直线x+y一4-0上,过点P向圆O引两条切线,A,B为切点 则1OPlIAB|的最小值为8 11. 如图,曲线C是一条“双纽线”,其C上的点满足:到点E(-2.0)与到点E(2.0)的距 离之积为4,则下列结论正确的是( ) A 点D(2V2,0)在曲线C上 B. 点M(x,1)(x>0)在C上,则lMEl=22 62 D. 过作x轴的垂线交C于A.B两点,则4B<2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设B,B.是双曲线C:-2-1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且PF-PF,=0, 3 则△PFE,面积为 ___ 14.如图,在校长为3的正方体ABCD-4.B.CD中,P在正方形CCD.D及其内部上运动 若tanPAD=2tanPBC,则点P的轨迹的长度头 四、解答题,本题共5小题,其中第15题13分,第16,17题15分,第18,19题17分, 共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知圆O:x2+y2-4. (1)若线段AB端点B的坐标是(4.2),端点A在圆O上运动,求线段AB的中点D的 轨迹方程; (2) 若EF,GH为圆O:x2}+v2}-4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1.2),求四达 形FGFH的面积S的最大值 16.(15分)在四校锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PC1PD, 二面角A-CD-P为真二面角. (1)求证:PB1PD; (2)当PC=PD时,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值 17..★(15分)给定圆C: 的圆为圆C的“准圆”.已知圆C的一个焦点为FV2,0),其短轴的一个端点到点F的 距离为3 (1)求圆C和其“准圆”的方程; (2)若点A,B是圆C的“准圆”与x轴的两交点,P是圆C上的一个动点,求AP:BP的 取值范围. 18.(17分)已知o为坐标原点,圆O:x*+=1.直线/.-y-x+m(0<m<1),如 图,直线/与圆O相交于A(A在x轴的上方).B两点,圆O与x轴交于M,N两点(M 在V的左侧),将平面xOy沿x轴折叠,使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AMV) 与>轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BMN)互相垂直,再以O为坐标原点,折叠 后原y轴负半轴,原x轴正半轴,原y轴正半轴所在直线分别为x,y,z轴建立如图所 示的空间直角坐标系 1 折叠前 折叠后 (1)若m=0. (i)求三榜锥A一BN的体积 ()求二面角A-BN-M的余弦值 (2)是否存在”,使得AB折叠后的长度与折叠前的长度之比为 若不存在,请说明理由 19.(17分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流 长,某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如 图: 步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为F; 步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F 重合); 步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与AE的交点为P; 步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片,设点F到圆心E的距离为23,按上述方法折纸.以线段EF 的中点为原点,线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为 曲线C. (1)求C的方程; (2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B,点P为轨迹C上异于A,B,的动点 设PB交直线x=4于点T,连结AT交轨迹C于点O.直线AP、AO的斜率分别为k #2 (ì)求证::。为定值; (ii)证明直线P2经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标